対数平均

対数平均（たいすうへいきん、英: logarithmic mean）とは、下記式で定義される値のこと。

{\begin{aligned}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln {\eta }-\ln {\xi }}}\\[6pt]&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\dfrac {y-x}{\ln {y}-\ln {x}}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}

$x, y$ は0以上の実数である。

伝熱などで使われる。対数平均温度差も参照。幾何平均と混同しないように注意。

幾何平均 ≤ 対数平均 ≤ 算術平均が成立する。

{\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.

^[1]^[2]

また、以下の関係式も成り立つ。

算術平均: ${\frac {M_{\text{lm}}\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\text{lm}}(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}$
幾何平均: ${\sqrt {\frac {M_{\text{lm}}\left(x,y\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}$
調和平均: ${\frac {M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$

由来

平均値の定理から、導関数 $f'$ が割線の傾きに等しくなるような実数 $ξ$ が区間 $(x, y)$ の中に存在する。すなわち

\exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.

対数平均は関数 $f$ に自然対数 ln を、そしてその導関数 $f'$ に $1/ ξ$ を代入し、 $ξ$ について解くことで得られる。

{\begin{aligned}&{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln {x}-\ln {y}}{x-y}}\\\therefore \quad &M_{\text{lm}}=\xi ={\frac {x-y}{\ln {x}-\ln {y}}}\end{aligned}}

対数平均は指数関数を用いた面積として解釈することもできる。

M_{\text{lm}}(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={\frac {y-x}{\ln {y}-\ln {x}}}.

この解釈により対数平均がもついくつかの基本的な特性を簡単に導出できる。指数関数は単調であるため、長さ 1 の区間での積分は $x, y$ によって制限される。積分演算子の斉次性も対数平均に反映され、

M_{\text{lm}}(cx,cy)=cM_{\text{lm}}(x,y)

となる。

以下のように、他にも対数平均を導く有用な積分表現がある。

${1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}$
${1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}$