導来代数幾何学

導来代数幾何学は、基本的にホモロジー代数とホモトピーを使用した幾何学対象の研究である。この分野の対象はホモロジー論的情報とホモトピー論的情報をエンコードする必要があるため、導来空間は様々な概念が含む。導来代数幾何学の研究の基本的な目的は、導来スキーム、より一般には導来代数となる。発見的には、導来スキームは、導来環のいくつかの圏から集合への関手である必要がある。

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}}$

これをさらに一般化して、より高次亜群の対象を持つことができる（ホモトピー型によってモデル化されることが期待されている）。これらの導来スタックは、次のような適切な関手である。

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}}$

多くの著者は、ホモトピー型をモデル化し、十分に研究されているため、単純集合に値を持つ関手などの関手をモデル化する。これらの導来空間の定義の違いは、導来環が何であるか、およびホモトピー型がどのように見えるかを選択することによって異なる。導来環のいくつかの例には、可換次数付き微分代数、単純環、および${\displaystyle E_{\infty }}$ -環。

ホモトピー型をモデル化するより高次スタックの最終的な理論があると推測される。 Grothendieckは、これらは球状亜群、またはそれらの定義の弱い形式によってモデル化されると推測している。シンプソン^[2]は、グロタンディークの考えの精神で有用な定義を与えている。代数スタック（ここでは1スタック）が表現可能と呼ばれるのは、任意の2つのスキームのファイバー積がスキームと同型であるためである。 ^[3]仮説をとると、0スタックは代数空間で、1スタックはスタックで、任意の2つのスキームに沿ってファイバー積が（n-1）-スタックになるように、nスタックを再帰的に定義できる。

Summarize Timeline Fact Check

導来代数幾何学の別の理論は、スペクトルスキームの理論によってまとめられている。それらの定義は、正確に述べるためにかなりの量の技術を必要とする。 しかし、要するに、スペクトル環によって与えられるスペクトルスキーム${\displaystyle X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$は、${\displaystyle \infty }$ -トポス${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$の束に同伴する${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ -環上${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$で、アフィンスキームの定義と同様いくつかの局所条件に従う。特に

1. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})}$はいくつかの位相空間と同等の${\displaystyle \infty }$ -トポス
2. 被覆が存在する必要がある${\displaystyle U_{i}}$のスペクトル環${\displaystyle X_{top}}$に誘導されるトポス${\displaystyle ({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})}$と同等

さらに、スペクトルスキーム${\displaystyle X}$は非接続と呼ばれ、${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0}$（${\displaystyle i<0}$）となる。