巡回加群 From Wikipedia, the free encyclopedia 数学において、巡回加群（じゅんかいかぐん、英: cyclic module）とは、1つの元で生成される加群のことである。 環 R 上の左加群 M が巡回加群であるとは、ある x ∈ M が存在して、 M = R x := { r x ∣ r ∈ R } {\displaystyle M=Rx:=\{rx\mid r\in R\}} となることである。右加群についても同様に定義される。 例 正則加群 RR は巡回 R-加群である。 巡回群は巡回 Z-加群である。 単純加群は巡回加群である。 代数的閉体 F 上の線型空間 V をとる。線型作用素 T: V → V の固有値 λ に関する広義固有空間 V(λ) は巡回 F[T]-加群である。 性質 R を環とする。左 R-加群 M が巡回加群であるための必要十分条件は、M が RR の剰余加群となることである[1]。具体的には、M = Rx のとき、準同型定理より R x ≅ R / Ann R ( x ) {\displaystyle Rx\cong R/\operatorname {Ann} _{R}(x)} となる。ただし、 Ann R ( x ) = { r ∈ R ∣ r x = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}} である。 巡回 Z-加群の部分加群は再び巡回加群であるが、一般の環上の巡回加群の部分加群は巡回加群とは限らない[2]。 脚注 ↑ 岩永 & 佐藤 2002, 命題2-2-4. ↑ たとえば R = M = Z[x] とすると、その部分加群 2M + xM は巡回加群ではない。 参考文献 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。 Related Articles
