弱解

前節の例から従う一般的なアイデアは次のようなものである：ある微分方程式を u について解く時、その方程式に現れる u の導関数がどのようなものであっても、部分積分によって u が「移される」ようないわゆるテスト函数 ${\displaystyle \varphi }$ を用いることで、その方程式を書き換えることが出来る。この方法によって、元の方程式の必ずしも微分可能でなくてもよい解を得ることが出来る。

上述の手法は、波動方程式よりもさらに一般的な方程式に対しても適用することが出来る。実際、Rⁿ 内のある開集合 W における線型微分作用素

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)}$

を考える。ここで多重指数 (α₁, α₂, ..., α_n) は Nⁿ 内のある有限集合について変動するものとし、係数 ${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$ は十分滑らかな x の函数とする。

微分方程式 P(x, ∂)u(x) = 0 は、W 内に台を持つあるテスト函数 ${\displaystyle \varphi }$ を掛けたのち、部分積分を行うことにより、次のように書き換えることが出来る：

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

ここで微分作用素 Q(x, ∂) は、式

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]}$

で与えられるものとする。数

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

が生じる理由は、微分方程式の各項における全ての偏導関数を u から ${\displaystyle \varphi }$ へ移すために α₁ + α₂ + ... + α_n 回の部分積分が必要であることと、それら各部分積分一回ごとに −1 を掛ける必要があるからである。

微分作用素 Q(x, ∂) は、P(x, ∂) の形式的随伴（formal adjoint）である（随伴の概念については随伴作用素を参照）。

まとめると、元の（強）問題が、開集合 W 上の |α| 回微分可能な函数 u で

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W}$

を満たすもの（いわゆる強解）を見つける、という問題であるとき、ある可積分函数 u が弱解であるとは、W にコンパクトな台を持つ全ての滑らかな函数 ${\displaystyle \varphi }$ に対して、

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

成り立つことを言う。

超函数に基づく弱解の概念は、しばしば不十分なものとなる。双曲型システムの場合、超函数に基づく弱解の概念では一意性が保証されず、したがってそれを保証するためにエントロピー条件や他の選択基準が必要となる。ハミルトン＝ヤコビ方程式のような完全に非線型の偏微分方程式においては、粘性解と呼ばれる全く異なった弱解の定義が存在する。

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2