粘性解

粘性解の定義を表す方法には、いくつかの同値なものが存在する。例えばフレミングとソナーの本や、Users Guide における semi-jets を使った定義^[2] の II.4 節や、^[3]を参照されたい。

ある領域 ${\displaystyle \Omega }$ における方程式 ${\displaystyle H(x,u,Du,D^{2}u)=0}$ が退化楕円型（degenerate elliptic）であるとは、${\displaystyle Y-X}$ が正定値行列であるような二つの任意の対称行列 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$、および任意の ${\displaystyle x\in \Omega }$、${\displaystyle u}$ と ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ に対して、不等式 ${\displaystyle H(x,u,p,X)\geq H(x,u,p,Y)}$ が成立することを言う。例えば、${\displaystyle -\Delta u=0}$ は退化楕円型である。また任意の一階の方程式は、退化楕円型である。

${\displaystyle \Omega }$ における上半連続な函数 ${\displaystyle u}$ が、ある退化楕円型方程式の「粘性の意味」での劣解（subsolution）であるとは、任意の点 ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ と、任意の ${\displaystyle C^{2}}$ 函数 ${\displaystyle \phi }$ で ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ および ${\displaystyle x_{0}}$ の近傍で ${\displaystyle \phi \geq u}$ を満たすようなものに対して、${\displaystyle H(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}$ が成立することを言う。

${\displaystyle \Omega }$ における下半連続な函数 ${\displaystyle u}$ が、ある退化楕円型方程式の「粘性の意味」での優解（supersolution）であるとは、任意の点 ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ と、任意の ${\displaystyle C^{2}}$ 函数 ${\displaystyle \phi }$ で ${\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})}$ および ${\displaystyle x_{0}}$ の近傍で ${\displaystyle \phi \leq u}$ を満たすようなものに対して、${\displaystyle H(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}$ が成立することを言う。

連続函数 u は、粘性の意味で優解かつ劣解であるとき、その偏微分方程式の粘性解と言われる。