弾性エネルギー

フックの法則に従うばね係数 k のばねの伸びが x であるときの弾性エネルギーは

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

で与えられる。

一端が壁に固定されたフックの法則に従うばね係数 k のばねに接続された物体を考える。ばねの伸びが x のとき、ばねが物体に及ぼす力は F = −kx である。 ばねの伸びが Δx だけ変化するとき、ばねに接続された物体は Δx だけ移動する。 ばねの伸びの変化が充分に小さい場合には、ばねが及ぼす力は殆ど変化しないとみなすことができる。このとき、ばねが物体に行う仕事は

${\displaystyle W=F\,\Delta x=-kx\,\Delta x}$

である。 一方、ばねが物体に仕事を行うとき、ばねから物体にエネルギーが移動する。ばねの他端は壁に固定されているので、外部からのエネルギーの流入はない。従って、ばねが行う仕事の分だけばねが蓄えている弾性エネルギーが減少する。弾性エネルギーを U、その変化量を ΔU とすれば

${\displaystyle W=-\Delta U}$

である。

これら二つの式から

${\displaystyle \Delta U=kx\,\Delta x}$

が得られる。ばねの伸びが無限小の極限 Δx → 0 で、微分係数が

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=kx}$

となる。これを積分すれば

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}+U_{0}}$

が導かれる。ここで U₀ は積分定数であり、これは伸びが x = 0、すなわちばねが自然な長さにあるときの弾性エネルギーを意味する。通常は U₀ = 0 と定める。

先のばねの例において、ばねの伸び x を弾性体の歪み ε へ、物体がばねに及ぼす力 kx を、弾性体の応力 σ へと置き換えれば、応力が偏微分係数

として表され、弾性エネルギーはこの積分として

で与えられる。弾性エネルギーは弾性体の変形の関数として定まるエネルギーであり、先の一次元線形弾性体の例では、ばねの伸び x の関数として与えられている。応力と歪みは一般にテンソルであり、テンソル添え字を a で表している。

応力を歪みの関数として与える関係式は構成方程式であり、弾性エネルギーと構成方程式は一方が分かれば、他方が偏微分あるいは積分として得られる関係にある。理論モデルとしてはどちらを先に与えても等価であるが、実験的には構成方程式が先に決定され、その積分として弾性エネルギーを導かれる場合が多い。