後続順序数

0 を除く任意の順序数は後続順序数か極限順序数の何れかである^[1]。

集合論における標準的なモデルとして、ジョン・フォン・ノイマンの順序数モデルは、順序数 α の後者 S(α) を等式 $${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$$ によって与える^[1]。

順序数の順序付けにおいて α < β となるための必要十分条件は、α ∈ β となることであったから、ここから直ちに二つの順序数 α, S(α) の間にはほかの順序数はなく、かつ明らかに α < S(α) が成り立つ。すなわち、この S(α) は α の後者としての条件を満足していることが確かめられる。

後者演算は（厳密には超限帰納法を通じて）順序数の和を定義するのに用いられる:^[2] $${\displaystyle \alpha +0:=\alpha ,\quad \alpha +S(\beta ):=S(\alpha +\beta )}$$ および、極限順序数 λ に対しては $${\displaystyle \alpha +\lambda$$ :=\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).}

特に、S(α) = α + 1 が成り立つ。乗法や冪も同様に定義される。

後続順序数および 0 は順序位相（英語版）に関して順序数全体の成す類の孤立点である^[3]