情報系

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ を確率空間、${\displaystyle I}$ を全順序 ${\displaystyle \leq }$ を備えた添字集合とする（${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, または${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ の部分集合であることが多い）。

任意の ${\displaystyle i\in I}$ について ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ は ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の部分 σ-加法族とする。このとき

${\displaystyle \mathbb {F}$ :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}

は、任意の${\displaystyle k\leq \ell }$ に対し ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }\subseteq {\mathcal {A}}}$ を満たすとき、情報系という。よって、情報系とは非減少的に順序付けられた σ-加法族の集まりのことである^[1]。${\displaystyle \mathbb {F} }$ が情報系であるとき、${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$ をフィルター付き確率空間（filtered probability space）または確率基底(stochastic basis)という^[2]。

${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ を確率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 上の確率過程とする。このとき

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

は σ-加法族であり、${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ は情報系になる。ここで ${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ は確率変数列 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ によって生成されたσ-加法族を表す。

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ が σ-加法族で

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1)}$

だから、${\displaystyle \mathbb {F} }$ は確かに情報系になっている。