拡散数

1次元の拡散方程式：

${\displaystyle {\dfrac {\partial {u}}{\partial t}}=k{\dfrac {\partial ^{2}{u}}{\partial {x}^{2}}}}$

ここで

• t ：時間
• x ：空間座標

を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。

${\displaystyle {\dfrac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=k{\dfrac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}}$

この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量u_i^{n +1} を

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+d(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})}$

と表すことができる。

拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには

${\displaystyle d\leq {\frac {1}{2}}}$

である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2}}{\dfrac {(\Delta x)^{2}}{k}}}$

つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。

• 竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎『計算力学』森北出版、2003年9月。ISBN 4-627-91801-1。
• 藤井孝蔵『流体力学の数値計算法』東京大学出版会、1994年4月。ISBN 9784130628020。

• 拡散方程式
• クーラン数