振動積分作用素

振動積分作用素の L² → L² 作用（あるいは、L² → L²作用素ノルム）に対する上界についての次に述べる結果は、フーリエ積分作用素に関するラース・ヘルマンダーの論文^[2]において得られたものである。

x,y ∈ Rⁿ, n ≥ 1 について考える。S(x,y) を実数値の滑らかな函数とし、a(x,y) を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。a(x,y) の台の上の至る所で ${\displaystyle \mathop {\rm {det}} _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0}$ が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される T_λ を L²(Rⁿ) から L²(Rⁿ) への連続作用素へと拡張し、そのノルムが任意の λ ≥ 1 に対して ${\displaystyle C\lambda ^{-n/2}\,}$ で評価されるようなある定数 C が存在する。すなわち、

${\displaystyle ||T_{\lambda }||_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}}$

が成立するような、ある定数 C が存在する。

1. ↑ Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5
2. ↑ L. Hörmander Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. doi 10.1007/BF02392052, http://www.springerlink.com/content/t202410l4v37r13m/fulltext.pdf

• 藪田公三、中路貴彦、佐藤圓治、田中仁、宮地晶彦：「解析学百科I：古典調和解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11726-4 (2008年3月15日)。第4章："振動積分と掛谷問題"。
• 宮地晶彦：「ユークリッド空間上の フーリエ解析 II」、朝倉書店（朝倉数学大系 14）、ISBN 978-4-254-11834-6 (2021年3月1日)。第9章："振動積分と停留位相の方法"、第10章："振動積分作用素とFourier変換の制限の問題"。