放物線

質量 m の物体を斜めに投射するとき、投げ出されたあとの物体に掛かる力は、空気抵抗の存在しない理想的な状況下では下向きに掛かる重力 mg のみ（g は重力加速度）である。したがって、運動方程式 F = ma から、物体の加速度は

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-g\end{bmatrix}}}$

となる。初速が ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0}=(v_{x}(0),v_{y}(0))^{T}=v_{0}(\cos \theta ,\sin \theta )^{T}(v=|{\boldsymbol {v}}|)}$ であるならば、積分して

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {v}}(0)+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}\cos \theta \\v_{0}\sin \theta -gt\end{bmatrix}}}$

となり、初期位置を r₀ = (0, y₀) にとると、さらに積分して

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}t\cos \theta \\y_{0}+v_{0}t\sin \theta -gt^{2}/2\end{bmatrix}}}$

が時刻 t における物体の位置である。t を消去すれば、適当な定数 a, b, c によって

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

の形に書くことができる。

数学のパラボラという概念は、（もともとは"物を投げた際の軌跡"という意味(漢字圏の意味）ではなく、）古代ギリシアで数学者たちが、円錐を切断した際に現れる曲線を研究し、分類している中で現れたものである。

数学史

パラボラは、古代ギリシアの数学者 アポロニウス（Apollonius of Perga） の著作『円錐曲線論（Conics）』（紀元前3世紀ごろの著作）においてパラボレという語で登場する。アポロニウスは、円錐をいろいろな角度で切断して得られる曲線を研究し、次の3つに分類した。

• エリプシス（ἔλλειψις）- "足りない"、という意味。現代で言う楕円を指してそう呼んだ。
• パラボレ（παραβολή）- "等しい"、という意味。現代でいうパラボラ（放物線）を指してそう呼んだ。
• ヒュペルボレ（ὑπερβολή）- "超過している"、という意味。現代でいう双曲線を指してそう呼んだ。

アポロニウスがなぜこのような3分類をしたかについて理解するには、さらに数学史をさかのぼる必要がある。 古代ギリシアの『円錐曲線論』以前の幾何学（例えば ユークリッド の『原論』）では、「面積をある線分に“応用”する」という操作が定義されていた。つまり、ある線分を底辺にして、与えられた面積を作る矩形を“当てはめる”という操作が定義されていた^[1]。たとえば、線分 × 線分 = 面積”という枠組みに対して次のように分類していた。

• もし与えられた面積をちょうど当てはめることができれば → パラボレ（παραβολή）「ちょうど」
• もし与えられた面積を「底辺」に当てはめようとしたとき、矩形が不足したら（つまり底辺に対して面積が足りないなら） → エレプシス（ἔλλειψις）「欠如・足りない」
• 逆に 底辺に対して当てはめる矩形が大きすぎて余るなら → ヒュペルボレ（ὑπερβολή）「超過」

このように3分類していた。 そのような分類習慣があったので、円錐の曲線を分類する際にも、アポロニウスは同じ分類法（言葉づかい）を応用し^{[注釈 4]}、エリプシス、パラボレ、ヒュペルボレという3語を使い、次のように分類したのである。

• 切断平面の角度が「円錐の母線（generatrix）＝側面線」と等しい ＝「平行」している場合 → 曲線は “ちょうど当てはまる” 性質をもつ → パラボレ ἡ παραβολή ^{[注釈 5]}
• 切断平面の角度が母線よりも小さい（＝側面に比べてゆるい角度）＝「当てはめが不足している」状態 → エリプシス ἡ ἔλλειψις（楕円）
• 切断平面の角度が母線よりも大きい（急である）＝「当てはめが超過している」状態 → ヒュペルボレ ὑπερβολή（双曲線）

円錐曲線

現代ではとりあえずは次のように説明する。

「円錐面を母線に平行な平面で切ると、切断面は放物線になる」（円錐曲線）

軌跡

平面幾何学において放物線（ほうぶつせん、parabola）とは、準線 (directrix) と呼ばれる直線 L と、その上にない焦点 (focus) と呼ばれる一点 F が与えられるとき、準線 L と焦点 F とをともに含む唯一つの平面 π 上の点 P であって、P から焦点 F への距離 PF と等しい距離 PQ を持つような準線 L 上の点 Q が存在するようなものの軌跡として定義される平面曲線である。

一般形

放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(p, q)、準線の式を ax + by + c = 0 とすると、PQ = PF より、放物線の方程式は、

${\displaystyle {\frac {|ax+by+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

で与えられる。この式は一般形と呼ばれる。

標準形

放物線上の点を P(x, y)、焦点を F(0, a)、準線の式を y = −a とすると PQ = PF より、

${\displaystyle y+a={\sqrt {x^{2}+(a-y)^{2}}}}$

なので

${\displaystyle x^{2}=4ay}$

となる。x と y を入れ替えた y² = 4ax も放物線の方程式である。この式は標準形と呼ばれる。

二次曲線

放物線は二次曲線の一種で、離心率は 1 である。

• 焦点が (0, c)、準線が y = −c のとき、放物線の式 x² = 4cy となる。
• 焦点が (c, 0)、準線が x = −c のとき、放物線の式は y² = 4cx となる。
• 二次関数 y = ax² + bx + c （a は 0 ではない）が描くグラフは放物線になる。

焦点と準線による定義から実際に放物線を糸や三角定規などを用いて作図することができる。

1. 放物線の焦点 F と準線 l をとる
2. 三角定規の直角を挟む一辺の長さ |AB| に合わせた糸を用意する（右図参照）
3. 糸の両端を点 A と焦点 F に固定する
4. 三角定規の直角を挟む残りの一辺が準線に沿ってを滑るにようにする（たとえば準線に定規をおいて合わせる）
5. 鉛筆で糸を辺 AB 上の点 P に押し当て、糸を張る
6. 三角定規を準線に沿って滑らすと、鉛筆は放物線を描く（軌跡は |PF| = |PB| ゆえ放物線になる）

ある曲線 γ が（γ 上の）ある点 P において C²-級ならば、γ は P の十分近くである放物線（の一部）にほぼ一致する。γ が必ずしも一定の平面上にある曲線ではないとしても、P において C²-級という条件から、P の十分近くであれば一定の平面上にほぼ乗っていると考えられる。別な言い方をすれば、任意の C²-級曲線は各点で放物線と二次の接触を持つ。

これは、C¹-級曲線が各点の近傍で接線と呼ばれる直線（線分）で近似されることの類似である。

関数のグラフを放物線によって近似し、その関数の積分を計算する数値積分法にシンプソンの方法がある。このときの近似誤差はテイラーの式の3次の剰余項を適当に評価することで測れる。被積分関数が3次までの多項式関数ならば、シンプソンの公式による数値積分は誤差無しに積分値を得ることができる。

カテナリー曲線（懸垂線）は、見た目が放物線と似ていて混同されることがあるが、全く別物である。共通した性質として、

• 唯一の極小な頂点を持つ
• 下に凸な滑らかな曲線
• 頂点を通る直線を対称の軸として線対称

があり、両者は頂点付近の十分近くで微視的にはほぼ一致するが、巨視的にはかけ離れた形状を示す。

• 物が空中に放たれた際の軌跡
  • 公園の噴水の水の軌跡
  • 打ち上げ花火がはじけた際の、ひとつひとつの火が目にやきつける光の軌跡
• 自由電子のバンド構造は放物線となる。また、自由電子の状態密度（三次元）も放物線となる。
• 建造物のアーチ形状には、カテナリー曲線と並んで放物線が使われることが多い。
  • エッフェル塔や東京タワーなどの鉄塔では、下部アーチはもちろん、塔体側面の曲線も放物線で近似される。

• 
  噴水の水の軌跡
• 
  花火の火の軌跡
• 
  エッフェル塔の下部アーチ

放物線をその対称軸を中心として回転させた曲面を放物面という。

• パラボラアンテナの形も放物線の回転により得られる放物面である（パラボラ Parabola[英]=放物線）。放物面の形をした反射板は平行な光線（あるいは電波、その他の放射線）を焦点に集めるので、アンテナや太陽炉に使う凹面鏡の形として利用される。発信の際にも、焦点に置いた点源の球面波から平行な放射を得るために利用される。

• 『曲線の事典　性質・歴史・作図法』　礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年　ISBN 9784320019072