整数の根基

最初のいくつかの正の整数の根基は

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... オンライン整数列大辞典の数列 A007947.

例えば，$${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

したがって$${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

関数 ${\displaystyle \mathrm {rad} }$ は乗法的関数である（が，完全乗法的関数ではない）。

任意の正の整数 ${\displaystyle n}$ の根基は，平方因子を持たない ${\displaystyle n}$ の最大の約数であり，したがって ${\displaystyle n}$ の平方因子を持たない核とも表現しうる。^[2]多項式時間で整数の平方因子を持たない部分を計算するアルゴリズムは知られていない。

定義は ${\displaystyle t}$ 乗因子を持たない ${\displaystyle n}$ の最大の約数 ${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$ に一般化され，これは素数冪に作用する乗法的関数である：

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

${\displaystyle t=3}$ 及び ${\displaystyle t=4}$ の場合は，それぞれ A007948 と A058035 に数列化されている。

ABC 予想の主張において，根基の記法は次のように出現する：

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,\exists K_{\varepsilon },\;\forall \left(a,\,b,\,c\right);\;c<K_{\varepsilon }\,\mathrm {rad} \left(abc\right)^{1+\varepsilon }}$$

ただし ${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$ は ${\displaystyle a+b=c}$ を満たす互いに素な正の整数である。

任意の整数 ${\displaystyle n}$ について，有限環 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ の冪零元は ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ の倍数の全てである。

Dirichlet 級数は，

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

である。