真性特異点

a を複素数とし、f(z) は a で定義されないが複素平面内のある領域 U において解析的であるとする。また、a のすべての開近傍と U の交わりは空でないとする。

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   および   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   のいずれも存在するなら、a は f および 1/f の可除特異点である。

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   は存在するが   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   が存在しないなら、a は f の零点であり、1/f の極である。

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   は存在しないが   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   は存在するなら、a は f の極であり、1/f の零点である。

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$   および   ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$   のいずれも存在しないなら、a は f および 1/f の真性特異点である。

その他の真性特異点の特徴として、その点における f のローラン級数の負の次数の項が無限個存在する（すなわち、そのローラン級数の主要部が無限和）というものがある。それに関連する真性特異点の定義として、ある a に対して、${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ がどんな整数 n > 0 に対しても微分可能でないなら、a は f (z) の真性特異点である、というものがある^[1]。

真性特異点の近くでの正則関数の挙動は、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理とピカールの大定理によって記述される。後者の定理は、a が関数 f の真性特異点 であれば、a のすべての近傍において、関数 f は高々 1 点を除いてすべての複素数値を無限回取る、というものである。

• An Essential Singularity by Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
• Essential Singularity on Planet Math