有界

順序集合の有界性

順序集合 (X, ≤) とその空でない部分集合 A を考える。X の元 L が、A の任意の元 a について a ≤ L を満たすとき、L を A の上界 (upper bound) といい、上界を持つ A は上に有界であるまたは「上から抑えられる」(bounded [from] above) という。また X の元 l が、A の任意の元 a について l ≤ a を満たすならば、l を A の下界 (lower bound) といい、下界を持つ A は下に有界である、または「下から押さえられる」(bounded [from] below) という。

上に有界かつ下に有界な集合は単に有界であるという。

順序集合 (X, ≤) が半順序 ≤ に関して最大元および最小元を持つならば、この半順序は有界順序 (bounded order) である、または X は有界順序集合 (bounded poset) であるという。有界順序を持つ順序集合 X に対し、部分集合 S に順序を制限した (S, ≤) は必ずしも有界順序にはならない。

距離空間の有界性

距離空間 (M, d) の部分集合 S が有界であるとは、S が有限な半径を持つ球で覆えることをいう。すなわち、M の元 x と正数 r > 0 で、任意の S の元 s に対して d (x, s) < r となるようなものが存在するとき、S は有界であるという。

M がそれ自身を M の部分集合とみて有界であるとき、d を有界距離函数 (bounded metric) といい、M を有界距離空間 (bounded metric space) と呼ぶ。

ここでSが空集合でないときは中心xをSの元に選ぶとしても同値である。

また同値な特徴付としてSの直径 diam S := sup{d(x, y) | x, y ∈ S} が有限というものがある。

位相空間・一様空間・位相ベクトル空間における有界性

一般の位相空間においては、距離（スケール）の概念が存在しないため、単純に「有界集合」を直接定義することはできない。しかし、空間に付加的な位相構造が入っている場合には、以下のように有界性が定式化される。

• 位相ベクトル空間（フォン・ノイマン有界）:

 位相ベクトル空間 ${\displaystyle V}$ の部分集合 ${\displaystyle B\subseteq V}$ が有界（またはフォン・ノイマン有界）であるとは、原点 ${\displaystyle 0}$ の任意の開近傍 ${\displaystyle U}$ に対して、あるスカラー ${\displaystyle \alpha >0}$ が存在し、任意の ${\displaystyle r\geq \alpha }$ について

${\displaystyle B\subseteq rU}$

が成り立つ（すなわち ${\displaystyle U}$ を十分膨らませれば ${\displaystyle B}$ を覆うことができる）ことをいう。${\displaystyle V}$ がノルム空間である場合、この定義は「ノルムに関して有界」であることと完全に一致する。

• 一様空間:

 一様空間 ${\displaystyle (X,\Phi )}$ においては、距離空間の全有界性の概念を一般化することができる。部分集合 ${\displaystyle S\subseteq X}$ が全有界（または前コンパクト）であるとは、空間の任意の一様構造（近傍系）${\displaystyle V\in \Phi }$ に対して、${\displaystyle S}$ が有限個の ${\displaystyle V}$-小集合によって覆えることをいう。

• コンパクト性との関連（位相空間）:

 距離空間や位相ベクトル空間において、コンパクト集合（あるいは相対コンパクト集合）は常に有界である。位相幾何学において「有界性」は位相不変量（同相で保たれる性質）ではないが、「コンパクト性」は位相不変量であり、局所コンパクト空間や多様体論などでは有界閉集合の代わりにコンパクト集合が空間の局所的な制限を与える役割を果たす。

有界関数

任意の集合 ${\displaystyle X}$ から距離空間（またはノルム空間） ${\displaystyle Y}$ への関数 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ について、その値域 ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}\subseteq Y}$ が ${\displaystyle Y}$ の有界集合であるとき、${\displaystyle f}$ は有界関数であるという。

特に ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$（実数体）の場合、ある実定数 ${\displaystyle M\geq 0}$ が存在して、すべての ${\displaystyle x\in X}$ に対して

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

が成り立つことと同値である。

本質的有界性

測度論およびルベーグ積分の理論においては、関数がすべての点で有界である必要はなく、測度 0 の集合（高々例外的な零集合）を除いた部分で有界であれば十分である場合が多い。

測度空間 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 上で定義された可測関数 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ （または複素数値関数）が本質的に有界（英: essentially bounded）であるとは、ある実定数 ${\displaystyle M\geq 0}$ が存在して、集合

${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)|>M\}}$

の測度が 0 であること（すなわちほとんど至る所で ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$ が成り立つこと）をいう。このとき、そのような ${\displaystyle M}$ の下限は ${\displaystyle f}$ の本質的上限（英: essential supremum）と呼ばれ、次のように表される：

${\displaystyle \|f\|_{L^{\infty }}=\mathrm {ess\,sup} _{x\in X}|f(x)|=\inf\{M\geq 0\mid \mu (\{x\in X\mid |f(x)|>M\})=0\}}$

本質的に有界な可測関数の同値類（ほとんど至る所等しい関数同士を同一視した空間）の全体は ${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$ というLp空間を成し、この本質的上限ノルム（${\displaystyle L^{\infty }}$ ノルム）のもとでバナッハ空間となる。