群論

置換群

初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。 任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射（置換とも呼ばれる）の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。

X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 S_n と呼ばれる。 一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。 ケイリーによる初期の構成では、 任意の群は（左正則表現の意味で）X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。

多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。 例えば、n ≥ 5 に対する交代群 A_n は単純群である。 つまり、自明でない真の正規部分群を持たない^{[注 1]}。A_n が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。

行列群

次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。ここでは群 G は体 K 上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。そのような群は n-次元ベクトル空間 Kⁿ に線型変換として作用する。この作用により、行列群は概念的には置換群とよく似たものとなり、また作用の幾何学は群 G の性質を示すのに最大限有効に利用することができる。

変換群

置換群や行列群は、群が空間 X にその内在的な構造を保つように作用するという、変換群（英語版）の概念の特別の場合である。置換群では X は集合であり、群作用は集合の元の並べ替えとして実現される。行列群では X はベクトル空間であり、群作用は線型変換として実現される。このように変換群の概念は、異なる種類の数学的対象（集合、ベクトル空間、多様体など）に作用する群を統一的に扱う枠組みを提供する。変換群の概念は対称変換群（あるいは「対称性の群」）の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。

変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。ここで扱う群それ自体は、離散群かもしれないし連続群となるかもしれない。

抽象群

群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。しかし、これらの異なる具体例に共通する代数的構造を抽出し、統一的に扱う必要性が認識されるようになり、特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示

${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$

を通して与えられる。抽象群を与えるための最も重要な方法は、群 G とその正規部分群 H による商群あるいは剰余群と呼ばれる群 G/H を構成する操作である。代数体上のイデアル類群は早くから扱われてきた剰余群の例であり、数論において非常に重要である。群 G が集合 X 上の置換群であるとき、その剰余群 G/H はもはや X に作用しないものだが、抽象群を考えることによってこのような問題を心配する必要も無くなる。

具体的な群から抽象群へ視点を移すことにより、その群がどのように実現されているかということとは無関係に（現代的な言葉で言えば、同型のもとで不変な）群の性質について考察することが自然なものとなった。またこのような性質による群の分類も、有限群、捩れ群、単純群、可解群などといったものが考えられる。また、個々の群の性質を探ることよりも、群のクラスに対して広く適用できるような結果を確立する方法が求められた。このような新しいパラダイムは、数学の発展に対して傑出した重要性を持つものであり、ダフィット・ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーターおよび彼らに師事した数学者たちによって、抽象代数学が構築されていく前兆となるものであった。

位相群と代数群

群に新たな構造を付け加えることにより、群の概念が発展することになった。新たな構造とは、特に、位相空間、可微分多様体、代数多様体などである。群演算（乗法 m と反転 i）

${\displaystyle m\colon G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i\colon G\to G,g\mapsto g^{-1}}$

が、上記の構造と両立可能であるとき、つまりこれらが連続、滑らか、（代数幾何学的な意味で）正則な写像となっているとすると、群 G はそれぞれ位相群、リー群、代数群と呼ばれるものになる^{[注 2]}。 群に別種の構造を付け加えることによって、これらの種類の群と、数学の別の分野が関連づけられる。そして、違う手法を研究に適用することが可能になる。

数学における応用

抽象代数学における殆ど全ての構造は群の特殊なものと見ることができる。例えば環はアーベル群（加法に対応）に第二の演算（乗法に対応）を合わせて考えたものと見ることができる。したがって、それらの代数的構造の理論の多くの部分が群論的な議論を下敷きとして行うことができる。

ガロア理論では群を多項式の根の置換による対称性（厳密には、根を添加して得られる多元環の自己同型）を記述するのに用いる。ガロアの基本定理は体の代数拡大の中間体と方程式の群の部分群との関係を与えるものである。これにより、たとえば代数方程式の冪根拡大による可解性の条件は、対応するガロア群が可解群であることに帰着する。例えば、5-次の対称群 S₅ が可解でないということから、五次の一般方程式は（四次以下の方程式では可能であったが）冪根を用いて解くことができないということが導かれる。歴史的には群論の起源は方程式のガロア群であったが、いまだにまだ未解決の問題（たとえば任意に与えた有限群をガロア群として持つ有理係数の代数方程式が存在するかなど）があり，新しい結果が生みだされつつある。

代数的位相幾何学（代数トポロジー）は、その研究で扱われている対象に群がはっきりと付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。ここで「不変量」とは、空間がある種の変形を受けても変化しないもののことである。例えば、基本群は、空間内に本質的に異なる道が何通りあるかを与えるものである。（2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた）ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。たとえば、代数的位相幾何学では所定のホモトピー群を備えた空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間（英語版）が用いられる。同様に代数的 K-理論は群の分類空間についての重要な手法を与える。あるいは、（無限群の）捩れ部分群という名称は、群論における古い形の位相幾何学の影響を示すものである。

代数幾何学は暗号理論と同様に、様々なところに群論が使われる。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである^{[注 3]}。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。

代数的整数論もまた、群論が重要な役割を果たす分野である。たとえば、ゼータ関数のオイラー積表示

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

は「任意の正の整数に対してそれを重複を許した素数の積の形として表す方法は唯一である」という算術の基本定理から導くことができる。しかしこのことはより一般の環では必ずしも成立しないことから、クンマーがフェルマーの最終定理を扱う際に用いたイデアル類群や正則素数という概念が生まれた。

• リー群（数学者ソフス・リーの名前にちなむ）は、微分方程式と多様体の研究において重要である。これは、連続的な幾何的構造および解析的な構造の対称性を記述するものである。リー群などの群の解析を調和解析という。ハール測度（リー群による平行移動で不変な積分を与える測度）は、これはパターン認識や画像処理に使われている^[6]。
• 組合せ数学においては、置換群や群作用の概念はしばしば使われ、集合の要素の個数を数える手段になる。バーンサイドの補題も参照。

自然科学における応用

• 物理学においては、群は物理法則の持つ対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。
• 化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質（極性やキラリティ）や分子軌道を決定できる（ラマン分光法や赤外分光法も参照）。分子の対称性は、化合物の多くの物理的・分光学的特性に関与しており、分子の対称性により化学反応がどのように起こるかを予想できる。例えば、水分子は回転対称軸と鏡映面を持つため、C_2v という点群に属する。

その他の応用

五度圏には位数12の巡回群が現れる。