正則マトロイド

一様マトロイド（英語版） ${\displaystyle U{}_{4}^{2}}$ (the four-point line) は正則でない。このマトロイドは（それ以外の全ての体の上では可能であるにもかかわらず）二元体 GF(2) 上のベクトル空間では実現できない（2値マトロイド（英語版）でない）からである。

ファノ平面（英語版）から導かれるマトロイド（階数3のマトロイドであって、7通りの点の三つ組が独立である）およびその双対マトロイドは、やはり正則でない。このマトロイドは GF(2) および任意の標数2 の体上で実現できるが、それ以外のどんな体上でも実現できない。

Tutte (1958) が示したように、これら3つの例は正則マトロイドの理論の基礎となる。任意の非正則マトロイドは、これら3つのマトロイドのうち少なくとも1つをマトロイドマイナーに持つ。よって、正則マトロイド全体は禁じられた3種、${\displaystyle U{}_{4}^{2}}$・ファノ平面・その双対、をマトロイドマイナーに持たないマトロイド全体とちょうど一致する^[8]

マトロイドが正則であれば、明らかに2つの体、GF(2),GF(3) 上で実現されねばならない。この逆も真である。これら2つの体上で実現できるマトロイドは、正則マトロイドである。この結果は、これらの体上で実現できるマトロイドに対する不可能なマトロイドマイナーの特徴付けから得られるが、これはロタ予想（英語版）によって体系化される一連の結果の一部である^[9]。

正則マトロイドは、全ユニモジュラ行列（全ての正方小行列式が 0, 1, −1 のいずれかにである正方行列）によって定義できるマトロイドである。ここでベクトル集合の実現は、行列の行集合を選ぶことにより行うものとする。このことから、正則マトロイドはときにユニモジュラマトロイドとも呼ばれる^[10]。正則マトロイドと全ユニモジュラ行列との等価性、および不可能なマトロイドマイナーによるそれらの特徴付けは、ウィリアム・トーマス・タット（英語版）による深い結果であり、タットのホモトピー定理（英語版）を用いて最初に証明された^[8]。 Gerards (1989) は後に、不可能なマトロイドマイナーによる全ユニモジュラ行列の特徴付けの、より簡単な別証明を与えた^[11]。

独立性オラクルが与えられたとき、マトロイドが正則か否かを多項式時間で判定するアルゴリズムが存在する^[12]。