正百二十胞体

要素の個数と接続関係

• 胞（3次元要素）：120個。全て正十二面体。
• 面：720枚。全て正五角形。各面には正十二面体2個が集まる。
• 辺：1200本。各辺には正五角形3枚、正十二面体3個が集まる。
• 頂点：600個。各頂点には辺4本、正五角形6枚、正十二面体4個が集まる。
• 双対：正六百胞体
• シュレーフリ記号：{5,3,3}

面、辺、頂点に集まる各次元の図形の数は、それぞれに対応する面図形、辺図形、頂点図形におきかえて数えることができ、それぞれ、線分の端点の数、正三角形の頂点と辺の数、正四面体の頂点と辺と面の数に等しい。それぞれパスカルの三角形の（頂上を0行目として）2行目、3行目、4行目の両端以外の項としても現れる。

頂点座標

600個の頂点の座標の取り方の一例を挙げる^[1][2][3]。ここで ϕ は黄金比 (1+√5)/2 である。

• (0, 0, ±2, ±2) (複号任意) の全ての置換 …… 24個
• (±1, ±1, ±1, ±√5) (複号任意) の全ての置換 …… 64個
• (±ϕ⁻², ±ϕ, ±ϕ, ±ϕ) (複号任意) の全ての置換 …… 64個
• (±ϕ⁻¹, ±ϕ⁻¹, ±ϕ⁻¹, ±ϕ²) (複号任意) の全ての置換 …… 64個
• (0, ±ϕ⁻², ±1, ±ϕ²) (複号任意) の全ての偶置換 …… 96個
• (0, ±ϕ⁻¹, ±ϕ, ±√5) (複号任意) の全ての偶置換 …… 96個
• (±ϕ⁻¹, ±1, ±ϕ, ±2) (複号任意) の全ての偶置換 192個

この場合、一辺の長さは ${\displaystyle 2\phi ^{-2}=3-{\sqrt {5}}}$ である。