球面扇形

球面扇形（きゅうめんおうぎがた、英語: spherical sector^[1], spherical cone^[2]）は、球体の一部であり、球冠と球の中心と球冠の境界を結ぶ円錐により囲まれた部分である。2次元における円の扇形に相当する。

球の半径を $r$ 、球冠の高さを $h$ とすると、球面扇形の体積は以下の式で与えられる。 $V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,$

この式は、以下のように書くこともできる。 $V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,$ $φ$ は円錐の開口角の半分、つまり $φ$ は球冠の縁と球の中心から見た時の球冠の中心への軸方向との間の角度である。 $φ$ が180°である場合、完全な球となる。

高さ $h$ は以下の式で与えられる。 $h=r(1-\cos \varphi )\,$

球面扇形の体積 $V$ は、球冠の表面積 $A$ を用いて以下の式で与えられる。 $V={\frac {rA}{3}}\,$

表面積

球冠の曲面の表面積（円錐面を除く球面上）は、以下の式で与えられる。 $A=2\pi rh\,.$

これは以下のように書くこともできる。 $A=\Omega r^{2}$ $Ω$ は、球面扇形の立体角であり、SI単位系における立体角の単位であるステラジアンで表される。1ステラジアンは $A = r 2$ の球冠の面積により囲まれる立体角として定義される。

導出

→詳細は「多重積分」を参照

体積は微分体積要素を積分することで計算できる。 $dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta$ $V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,$ 被積分関数をそれぞれ1つのダミー変数を持つ関数の積に分離できるため、分離される。

面積は、微分球面積要素を積分することにより同様に計算できる。 $dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta$ $A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,$ $φ$ は傾斜角（または仰角）、 $θ$ は方位角（右）である。 $r$ は定数であり、ここでも積分は分離可能である。

表面積

導出

関連項目

出典

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