矩形関数 From Wikipedia, the free encyclopedia 矩形関数 矩形関数（くけいかんすう、英: rectangular function）は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である[1]。 rect ( t ) = ⊓ ( t ) = { 0 if | t | > 1 / 2 1 / 2 if | t | = 1 / 2 1 if | t | < 1 / 2 {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>1/2\\1/2&{\mbox{if }}|t|=1/2\\1&{\mbox{if }}|t|<1/2\end{cases}}} 別の定義では、 rect ( ± 1 / 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} (\pm 1/2)} を 0 か 1 にするか、未定義とする。 ヘヴィサイドの階段関数 u ( t ) {\displaystyle u(t)} を使って次のように矩形関数を表現することもできる。 rect ( t τ ) = u ( t + τ 2 ) − u ( t − τ 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)} または、 rect ( t ) = u ( t + 1 2 ) ⋅ u ( 1 2 − t ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)} とも表せる。 極限を用いれば、 rect ( t ) = lim n → ∞ 1 1 + | 2 t | n {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+|2t|^{n}}}} とも表せる。 性質 矩形関数のフーリエ変換は次のようになる。 ∫ − ∞ ∞ rect ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t = sin ( π f ) π f = sinc ( f ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (f)} および、 1 2 π ∫ − ∞ ∞ rect ( t ) ⋅ e − i ω t d t = 1 2 π sinc ( ω 2 π ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)} ここで sinc は正規化されたSinc関数である。 三角形関数は2つの矩形関数の畳み込みで定義できる。 tri ( t ) = rect ( t ) ∗ rect ( t ) {\displaystyle \operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)} 矩形関数の確率分布関数として見た場合、その特性関数は次のようになる。 φ ( k ) = sin ( k / 2 ) k / 2 {\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}} また、その積率母関数は次のようになる。 M ( k ) = sinh ( k / 2 ) k / 2 {\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}}} ここで、 sinh ( t ) {\displaystyle \sinh(t)} は双曲線正弦関数である。 参考文献 ↑ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児 訳『フーリエ音響学』シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、8頁。ISBN 4-431-71174-0。 関連項目 フーリエ変換 ボックスカー関数 矩形波 三角形関数 Related Articles
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を 0 か 1 にするか、未定義とする。
