空和

添字集合が空になる和、あるいは条件が常に偽となって加える項が一つも存在しない和を空和という。例えば ${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq 0}n}$ や ${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq 1}2^{i}3^{j}}$ は、いずれも条件を満たす項が存在しないため空和である。^[1]

数の場合、空和の値は

• ${\displaystyle \sum _{\varnothing }(\cdots )=0}$

と定めるのが一般的である。^[2]

和が数に限らず、ベクトル・行列・多項式など（加法が定義された対象）に値をとる場合にも空和は定義できる。一般に、加法が定義された対象では空和はその加法単位元（零元）に等しいものとして扱う。^[1]

空和を 0（あるいは零元）と定める主な理由は、既存の公式・再帰関係・アルゴリズムが「端点」でも自然に成立し、場合分けが減ることにある。^[1]

• 空積（空積は乗法単位元 1 に等しいと約束する）
• 空集合
• 空虚な真