空気動力学径

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空気動力学径d_ae は次式で表される^[1]。

${\displaystyle d_{ae}={\sqrt {{\frac {6}{\pi }}{\frac {\rho _{p}}{\rho _{0}}}{\frac {\alpha _{e}}{K_{R}}}}}d_{e}}$

ただし

• ρ_p ：粒子の密度
• ρ₀ = 1 g/cm³
• α_e ：体積形状係数、粒子の体積 / (粒子の大きさ)³
• K_R ：抵抗形状係数、球形粒子を基準とした流体抗力の大きさの比
• d_e ：粒子の大きさ

密度ρ₀ の球形粒子に対しては、ストークスの式より直径d と終端速度v およびそのときの抗力F （重力とつりあう）の大きさには次の関係がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}&v={\frac {\rho _{0}d^{2}g}{18\mu }},\\&F=3\pi \mu dv={\frac {\pi }{6}}\rho _{0}d^{3}g\end{aligned}}}$

一方、密度ρ_p 、体積V_e の一般の形状の粒子に対して、適当な方法で大きさd_e を定め、体積形状係数α_e を

${\displaystyle \alpha _{e}=V_{e}/d_{e}^{3}}$

と定める。この粒子が同じ終端速度v で動くときの流体抗力をF_e とし、抵抗形状係数K_R を

${\displaystyle F_{e}=K_{R}\cdot 3\pi \mu d_{e}v=K_{R}{\frac {\pi }{6}}\rho _{0}d_{e}d^{2}g}$

から定める。粒子にはたらく重力

${\displaystyle F_{ge}=\rho _{p}(\alpha _{e}d_{e}^{3})g}$

と抗力F_e がつりあうから

${\displaystyle K_{R}{\frac {\pi }{6}}\rho _{0}d_{e}d^{2}g=\rho _{p}(\alpha _{e}d_{e}^{3})g}$

が成り立ち、これをd について解くことで与式が得られる。