簡約律

マグマ (M, ∗) の元 a が左簡約可能であると言うことは、関数 g : x ↦ a ∗ x が単射したがって集合のモノ射であると言うことであるが、それは集合の自己準同型であるからそれは集合の断面（英語版）である、すなわちすべての x に対して f(g(x)) = f(a ∗ x) = x であるような集合のエピ射 f が存在し、したがってf はレトラクション（英語版）である。さらに、g の値域（英語版）では逆をとり残りをちょうど a に送って f を「構成」することができる。

正（非負）の整数全体は加法のもとで簡約可能な半群をなす。非負の整数全体は加法のもとで簡約可能なモノイドをなす。

実は任意の自由半群あるいはモノイドは簡約法則に従い、一般に群に埋め込まれる任意の半群やモノイドは（上の例が明らかにそうであるように）簡約法則に従う。

別の例として、環の非零因子全体の乗法半群（問題の環が整数全体のように域であれば単にすべての非零元すべてからなる集合）（の任意の部分半群）は簡約性質をもつ。これは問題の環が非可換かつ／または非単位的であったとしても成り立つままであることに注意しよう。

簡約法則は実数や複素数の加法、減法、乗法、除法に対して（0 を掛けることと別の数によって 0 を割ることの例外だけを除いて）成り立つが、簡約法則が成り立たない代数的構造はたくさんある。

2 つのベクトルのクロス積は簡約法則に従わない。a × b = a × c であるとき、a ≠ 0 であったとしても、b = c は従わない。

行列の乗法もまた簡約法則に従うとは限らない。AB = AC かつ A ≠ 0 のとき、B = C と結論する前に、行列 A が可逆であること（すなわち det(A) ≠ 0）を示さなければならない。det(A) = 0 であれば、B は C と等しくないかもしれない、なぜならば行列の方程式 AX = B は非可逆行列 A に対して一意的な解を持たないからである。

AB = CA かつ A ≠ 0 かつ行列 A が可逆（すなわち det(A) ≠ 0）であるとき、B = C が正しいとは限らないことにも注意しよう。簡約できるのは AB = AC および BA = CA に対してのみ（もちろん行列 A は可逆として）であって、AB = CA と BA = AC に対してはできない。

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