準群

ラテン方格性による定義

準群 (Q, ∗) は、集合 Q と閉じた二項演算 ∗ からなるマグマで、ラテン方格性（Latin square property）に従うものである。この性質は、任意の a, b ∈ Q について、以下を満たす x, y ∈ Q がそれぞれ一意的に存在することである。

a ∗ x = b

y ∗ a = b

言い換えれば、積表（英語版）において各元が全ての行と列にそれぞれただ一回のみ出現することである。この性質は有限準群の積表がラテン方格であることを保証する。x と y が一意的であるという要件は、このマグマが簡約可能であるという要件に置き換えられる^{[2][注釈 2]}

これらの等式の一意解は x = a \ b および y = b / a で表され、演算子 \ と / はそれぞれ左除法（英語版）、右除法（英語版）と呼ばれる。積表についていえば、前者の等式（左除法）は b が a 行 x 列成分として出現することを、後者の等式（右除法）は b が y 行 a 列成分として出現することを、それぞれ意味する。

空集合と空関数からなるマグマは準群の定義を満たすが、これを準群として認めるか否かは著者によって異なる^[3][4]。

普遍代数学的定義

何らかの代数的構造が与えられたとき、恒等式は暗黙裡に全ての変数が全称量化され、全ての演算がその構造の適当な原始的演算である等式である。恒等式だけからなる公理系を満たす代数的構造のクラスはバラエティと呼ばれる。普遍代数学の多くの標準的な結果はバラエティについてのみ成り立つ。準群は左除法と右除法を原始的とするとバラエティをなす。

左準群 (Q, ∗, \) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。

x \ (x ∗ y) = y

x ∗ (x \ y) = y

右準群 (Q, ∗, /) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。

(y ∗ x) / x = y

(y / x) ∗ x = y

準群 (Q, ∗, \, /) は (2, 2, 2) 型の代数で上記4本の左準群および右準群の恒等式全てを満たすものである。

言い換えれば、同じ側で同じ元による乗法と除法を続けても、その順序によらず値は変わらない。

以上により、(Q, ∗) が先の節の定義における準群であるとき、(Q, ∗, \, /) は普遍代数学の意味での同じ準群である。逆も同様で、(Q, ∗, \, /) が普遍代数学の意味での準群であるとき、(Q, ∗) は最初の定義における準群である。

半対称性

準群が半対称（semi-symmetric）と呼ばれるのは以下の互いに同値な恒等式のいずれかが成立するときである^{[注釈 3]}。

x / y = y ∗ x

y \ x = x ∗ y

x = (y ∗ x) ∗ y

x = y ∗ (x ∗ y)

このクラスは特別であるように見えるかもしれないが、どの準群 Q も以下の演算によって直積 Q³ 上に半対称準群 QΔ を誘導する。

(x₁, x₂, x₃) ⋅ (y₁, y₂, y₃) = (y₃ / x₂, y₁ \ x₃, x₁ ∗ y₂) = (x₂ // y₃, x₃ \\ y₁, x₁ ∗ y₂)

ここで、// と \\ は y // x = x / y と y \\ x = x \ y で与えられる共役除法である。

三対性

全対称性

三つの演算が一致する、つまり x ∗ y = x / y = x \ y である^{[注釈 4]}ような、より狭いクラスが全対称準群（totally symmetric quasigroup、略してTS-準群とも）である。全対称準群には可換な、つまり x ∗ y = y ∗ x であるような半対称準群とする別の定義もある。

冪等な全対称準群はシュタイナー三重系と等価である^{[注釈 5]}ことから、シュタイナー準群（Steiner quasigroup、squag）とも呼ばれる。ループにおいてこれに対応するのが sloop であり、冪等性 x ∗ x = x に代えて x ∗ x = 1 を満たすものである。また、冪等性を要求しない一般の全対称準群は、一般化楕円三次曲線（Generalized Elliptic Cubic Curve、GECC）とも呼ばれる、拡張シュタイナー三重系の幾何学的概念に相当する。

全反対称性

全ての c, x, y ∈ Q について以下の含意が成立するとき、準群 (Q, ∗) は弱全反対称（weakly totally anti-symmetric） であるという^[5]。

(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x ⇒ x = y

準群 (Q, ∗) が全反対称（totally anti-symmetric）とよばれるのは、これに加えて、全ての x, y ∈ Q について以下の含意が成立するときである^[5]。

x ∗ y = y ∗ x ⇒ x = y

この性質は、例えばDammアルゴリズムにおいて要求される。

乗算作用素

準群の定義はマグマ Q の左右の乗算作用素 L_x, R_x: Q → Q についての条件として扱うことができる。ここで、L_x(y) = xy および R_x(y) = yx とする。準群の定義はこのどちらの写像も Q からそれ自身への全単射であることであることを意味する。マグマ Q が準群であるのは、全ての x ∈ Q についてこれらの作用が全単射であるときである。またこのとき、それぞれの逆写像が左右の除法である。つまり L−1
x(y) = x\y および R−1
x(y) = y/x である。この記法の下で、#普遍代数学的定義における乗法と除法の間の恒等式は、Q 上の恒等写像を id として以下のように表せる。

L−1
xL_x = id（x\(xy) = y に対応）

L_xL−1
x = id（x(x\y) = y に対応）

R−1
xR_x = id（(yx)/x = y に対応）

R_xR−1
x = id（(y/x)x = y に対応）

ラテン方格

有限準群の積表はラテン方格となる。すなわち、n 個の相異なる記号で埋めた n × n の表で、各行および各列に各記号が正確に一回ずつ現れる。

反対に、いずれのラテン方格も複数のラテン方格の積表として捉えることができる。複数というのは、列見出しの行、行見出しの列を追加するときに記号の任意の並べ方を用いることができるからである。小さいラテン方格と準群（英語版）も参照。

Inverse properties

ループの全ての元 x に対して左逆元 x^λ = e/x および右逆元 x^ρ = e\x がそれぞれ一意的に存在して、x^λx = xx^ρ = e が成り立つ。全ての x について x^λ = x^ρ であるとき、その（両側）逆元は x⁻¹ で表される。

ループにおいては逆元についてのいくつかの概念が用いられる^[8]。

• Left inverse property（LI）は、全ての x および y について x^λ(xy) = y を満たすことである。L−1
  x = L_x^λ あるいは x\y = x^λy とも表せる。
• Right inverse property（RI）は、全ての x および y について (yx)x^ρ = y を満たすことである。R−1
  x = R_x^ρ あるいは y\x = yx^ρ とも表せる。
• Antiautomorphic inverse property（AI）は、全ての x および y について (xy)^λ = y^λx^λ または (xy)^ρ = y^ρx^ρ を満たすことである。
• Weak inverse property（WI）は、(xy)z = e と x(yz) = e が同値になることである。

LI、RI、AIの三つはいずれも両側逆元の存在を含意する。また、LIかつRIを満たすことを inverse property（IP）と呼び、これはAIおよびWIを含意する。実際のところ、LI、RI、AI、WIのうちいずれか二つを満たせばIPであり、残りの二つも成り立つ。

ホモトピーとアイソトピー

準群 Q から準群 P へのホモトピー（homotopy）とは、Q から P への写像の三つ組 (α, β, γ) で、全ての x, y ∈ Q について α(x)β(y) = γ(xy) であるものをいう。準同型は三つの写像が等しいホモトピーに他ならない。

アイソトピー（isotopy、イソトピー）は三つの写像 α, β, γ がいずれも全単射のホモトピーである。二つの準群の間にアイソトピーがあるときそれらはアイソトピック（isotopic イソトピック）であるという。ラテン方格で言い換えれば、アイソトピー (α, β, γ) は行の置換 α、列の置換 β、台集合の元の置換 γ の組である。

オートトピー（autotopy）はある準群からそれ自身へのアイソトピーである。準群の全てのオートトピーの集合は群をなし、自己同型群を部分群として持つ。

全ての準群にはアイソトピックなループが存在する。また、群とアイソトピックなループはその群と同型でありそれ自身が群である。ただし、準群は群とアイソトピックであっても群とは限らない。例えば、R に (x + y) / 2 で乗法を与えた準群は加法群 (R, +) とアイソトピックだが、結合的ではなく単位元も持たないため群ではない。ブルック–マードック–豊田の定理により、全ての中可換準群にはアイソトピックなアーベル群が存在する。

共役

左除法や右除法はそれを乗法として準群をなす。つまり、元々の乗法の定義の等式 x ∗ y = z に対して変数を入れ替えて新たな乗法を x \ z = y や z / y = x として準群が得られることを意味する。さらにこれら三つの演算の反転（opposite）により y o x = z (= x ∗ y)、z \\ x = y (= x \ z)、y// z = x (= z / y) の演算が得られる。これら六つの演算をまとめて ∗ の共役（conjugates、parastrophes）と呼ぶ。また、これらの演算の任意の二つ（同一の場合を含む）は互いに共役である（conjugate (parastrophic) to each other）という。

集合 Q 上に二つの準群演算 ∗ および · があり、一方が他方の共役とアイソトピックであるとき、それらの演算は互いにアイソストロフィック（isostrophic）であるという。この関係にはパラトピー（paratopy）など多くの別名がある。

多項準群

n-項準群（n-ary quasigroup）は集合 Q とその上の n-項演算 f: Qⁿ → Q の組 (Q, f)で、等式 f(x₁,...,x_n) = y の変数のうちどの n 個の値が任意に与えられても残りの一つの値が一意に定まるものである。多項（polyadic、multiary）というときには、ある非負整数 n が存在して n-項であることを意味する。

零項（0-ary、nullary）準群の演算は Q 上の定値写像であり、単項（1-ary、unary）準群の演算は Q 上の置換である。二項（2-ary、binary）準群は通常の準群である。

多項準群の一例は群演算の繰り返し y = x₁ · x₂ · ··· · x_n である^{[注釈 9]}。また、演算の順序を指定すれば、必ずしも同一でない群演算や準群演算の列（例えば整数の加法・減法・乗法が混在する列）を用いても多項準群を構成できる。

このような方法で表すことができない多項準群も存在する。1 ≤ i < j ≤ n かつ (i, j) ≠ (1, n) のいかなる i および j においても演算 f が

f(x₁,...,x_n) = g(x₁,...,x_i−1, h(x_i,...,x_j) ,x_j+1,...,x_n)

と二つの演算の合成に分解することができないならば、n-項準群は既約（irreducible）であるという。有限既約 n-項準群は全ての n > 2 において存在する (Akivis & Goldberg 2001)。

結合律を満たす n-項準群は、n-項群（英語版）と呼ばれる。