線型代数学の基本定理

数学の分野における線型代数学の基本定理（せんけいだいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of linear algebra）とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A の階数 r や、その特異値分解

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T}\ }$

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 ${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n}}$（行列 ${\displaystyle A}$ は ${\displaystyle m}$ 個の行と ${\displaystyle n}$ 個の列を持つ）は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す：

続いて、次が成立する：

1. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ において、${\displaystyle \mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }}$ である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。
2. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{m}}$ において、${\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }}$ である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。

各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、${\displaystyle A\colon V\to W}$ および ${\displaystyle A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}}$ を用いて次のように言い直すことが出来る：${\displaystyle A^{*}}$ の核および像は、${\displaystyle A}$ の余核および余像に、それぞれ等しい。