自由境界問題

氷の融解は、温度場 T に対するステファン問題で、それは次のように定式化される。T > 0 の時に現れるような相 1 と、T < 0 の時に現れるような相 2 の二つの相からなる領域 Ω を占めるようなある媒質を考える。その二つの相の温度拡散率はそれぞれ α₁ および α₂ とする。例えば、水の温度拡散率は 1.4×10⁻⁷ m²/s であり、氷の温度拡散率は 1.335×10⁻⁶ m²/s である。

単一の相からなる領域において、温度は熱方程式によって決定づけられるものとする。T > 0 の領域においては、

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{1}\nabla T)+Q}$

によって温度が決定され、T < 0 の領域においては、

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{2}\nabla T)+Q}$

で決定される。これは、Ω の（既知の）境界上の適切な条件の下で考えられるものである。ここで Ω は熱のシンクあるいはソースを表す。

時刻 t において T = 0 であるような表面（surface）を Γ_t と表す。この表面は、二つの相の間の界面（interface）である。ν を、第二の（固体の）相への外向き単位法ベクトルとする。このときステファン問題は、向き ν への自由境界の速度 V によって支配されるある方程式によって与えられる、表面 Γ の発展を決定するものである。特に、

${\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2}}$

が成り立つ。ここで L は融解の潜熱（latent heat）を表す。T₁ は x が領域 T > 0 から Γ_t へ近付くときの勾配の極限を意味し、T₂ は x が領域 T < 0 から Γ_t へ近付くときの勾配の極限を意味する。

この問題において、全領域 Ω は前もって知られているが、氷／水の表面 Γ は時刻 t = 0 におけるものしか知られていない。そのステファン問題を解く上で、各領域における熱方程式を解くだけでなく、自由境界 Γ についても追って考えなければならない。

一相ステファン問題は、α₁ あるいは α₂ のいずれかをゼロとするような問題に相当する。すなわち、それは二相ステファン問題の特別な場合である。この観点から、より複雑な問題として、任意の数の相を伴う問題を考えることも出来る。

自由境界問題の他の有名な例として、古典的なポアソン方程式と密接な関連がある、障害問題（英語版）が挙げられる。微分方程式

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=g}$

の解は、変分原理を満たす。すなわちその解は、汎関数

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }fu\,\mathrm {d} x}$

を、境界上で g の値を取るようなすべての関数 u について、最小化するものである。障害問題においては、次のような付加的な制限が課される：ある与えられた関数 φ に対して、

${\displaystyle u\leq \varphi \,}$

が Ω 内で成立しているものとする。

u = φ が成立するような領域として、一致集合（coincidence set）C を定義する。さらに、u が φ と等しくならないような領域として不一致集合（non-coincidence set）N = Ω\C を定義し、それら二つの集合の間の界面として自由境界 Γ を定義する。このとき、u は自由境界問題

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f{\text{ in }}N,\quad u=g}$

を、Ω の境界上で満たし、

${\displaystyle u\leq \varphi {\text{ in }}|\Omega ,\quad \nabla u=\nabla \varphi {\text{ on }}\Gamma .\,}$

を満たす。ここで、v ≤ φ を満たすようなすべての関数 v の集合は凸であることに注意されたい。ポアソン問題が、関数の線型部分空間についての二次汎関数の最小化に対応するように、自由境界問題は凸集合についての最小化に対応する。