補有限

性質

• 部分空間に関して： 補有限位相空間の任意の部分位相空間はふたたび補有限である。
• コンパクト性に関して： 補有限位相空間の任意の開集合は有限個の例外を除いて X の全ての点を含むから、空間 X はコンパクトかつ点列コンパクトである。
• 分離性に関して： 補有限位相は T₁-分離公理を満たすもっとも粗い位相（つまり、任意の一元集合が閉であるような最小の位相）である。実は、X 上の位相が T₁-分離公理を満たす必要十分条件は、それが補有限位相を含むことである。X が有限集合ならば、その補有限位相は単に離散位相のことに他ならない。X が無限集合の場合、補有限位相は、空でないどの二つの開集合も互いに素ではない（つまり超連結である）から、 T₂ でも正則でも正規でもない。

二重点補有限位相

二重点補有限位相 (double-pointed cofinite topology) はその各点がすべて二重点であるような補有限位相、つまり補有限位相と密着位相との積位相である。二重点を成す点の対は位相的に区別不能であるから、この空間は T₀ でもT₁ でもない。その代わり、位相的に区別不能な点の全体は可分であるから、R₀ にはなる。

可算な二重点補有限位相の例は、偶数全体および奇数全体の集合にそれらをまとめて扱うような位相を入れたもので与えられる。X を整数全体の集合、O_A を整数からなる集合でその補集合が A であるようなものとする。各整数 x に対して、開集合 G_x の準開基を、x が偶数のとき

G_x = O_{{x, x+1}}

および、x が奇数のとき

G_x = O_{{x-1, x}}

で定めれば、X の開基集合はこれらの有限交叉によって生成される。すなわち、この位相に関する開集合は、適当な有限集合 A に対する

${\displaystyle U_{A}:=\bigcap _{x\in A}G_{x}}$

の形で与えられる。こうして与えられた空間は、偶数 x に対して x と x + 1 は位相的に区別不能なので、T₀ でない（従って T₁ でもない）。しかしこの空間は、U_A の有限和で被覆されるから、コンパクト空間になる。

直積位相

位相空間族 X_i の直積上に定義される直積位相は、各 i について U_i ⊂ X_i なる開集合の直積

${\displaystyle \prod U_{i}}$

で、有限を除く全ての i について U_i = X_i であるようなものを開基にもつ。

（有限個の例外を除いて全空間に一致するという条件を外した）類似概念に箱位相がある。

加群の直和

加群の直和

${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$

は、有限を除く全てが α_i = 0 であるような列 (α_i) (ただし全ての i について α_i ∈ M_i) を元としてその全体からなる。

（有限個を除いて全て 0 であるという条件を外した）類似概念は加群の直積である。