西山の定理

証明は文献^[4]に詳しいが、手順は次のとおりである。

• 交わる2本の直線L1, L2があるとき、この2直線を重ね合わせるためには、回転の中心を、2直線の交点Pを通り、交角を2等分する線上にもってこなければならない。
• 平行な2直線L1, L2に距離の等しい平行な2直線L3, L4が交わっているとき、2直線L1, L2を2直線L3, L4に重ね合わせるためには、L1とL3の交点と, L2とL4の交点を結ぶ直線上に回転の中心をもってくることである。
• 正方形の４辺を重ね合わせるということは、二組の平行な２直線を同時に重ね合わせることであるから、上記を２回適用すると、それが不動点となる。

合同変換における作図法は、相似変換における作図法にそのまま拡張されることが、1989年に岡部恒治と森原則男によって発見され、証明がされた^[5]。また、西山の定理はアフィン変換の不動点にも拡張される^[6]。 相似変換の不動点については、別の証明もある^{[7] [8]}。

• 長方形ABCDの上に、縮小された長方形A'B'C'D'が任意に重なっているとき、これらを重ね合わせるための中心は、相似変換における不動点となる。

• 長方形ABCDと長方形A'B'C'D'において対応する辺の交点を求める。辺ABと辺A'B'の交点をP、辺CDと辺C'D'の交点をQ、辺BCと辺B'C'の交点をR、辺DAと辺D'A'の交点をSとする。交点が求まらないときは辺を延長させること。直線PQと直線RSの交点をOとしたとき、これが相似変換の不動点になる。

• 直線PQと直線RSは直交している。