調和数 (発散列)

調和数の積分表示

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}$

はオイラーによる。この等式は簡単な代数的等式

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$

を使えば明らかである。また、積分の変数を単純に x = 1 − u と変換すれば、H_n のきれいな組合せ論的展開

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}du=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}du=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

が得られる。同じ表現は、第三レトケシュ恒等式（英語版）で x₁ = 1, ..., x_n = 1 とおき、

なる事実を用いることでも得られる。すなわち

${\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}}$

が成り立つ。また、レトケシュ恒等式を x₁ = 1², ..., x_n = n² に対して用いれば、この場合

${\displaystyle \Pi _{k}(1^{2},2^{2},\ldots ,n^{2})=(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!(n+k)!}{2k^{2}}}}$

となるので、ζ(2) の第 n-部分和についての類似の公式

${\displaystyle H_{n,2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}=2\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}}}$

を得る。H_n の増大度は n の自然対数 ln(n) と同程度の速さである。このことは、H_n を積分

${\displaystyle \int _{1}^{n}{dx \over x}\quad (=\ln(n))}$

で近似することによって確認できる。数列 (H_n - ln(n)) は単調に減少して、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }$

なる定数（この定数 γ はオイラー・マスケローニ定数と呼ばれ、その値は 0.5772156649... である）を極限にもち、これに対応する漸近展開は

${\displaystyle H_{n}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})}$

で与えられる。

調和数 H_n のパラメータ n を積分

${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}dx}$

によって拡張すれば、0 と 1 の間の分数値をもつパラメータ α に対する解析的な特殊値を定めることができる。あるいはさらに漸化式

${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}}$

によって拡張することもでき、結局は任意の x > 0 に対して（x が整数のときもそうでないときも）

${\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}}$

が成立する。いくつかの特殊値について計算すれば、以下のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{3/4}&={\frac {4}{3}}-3\ln {2}+{\frac {\pi }{2}},\\H_{2/3}&={\frac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\frac {\pi }{6}}{\sqrt {3}},\\H_{1/2}&=2-2\ln {2},\\H_{1/3}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3},\\H_{1/4}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2},\\H_{1/6}&=6-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3),\\H_{1/8}&=8-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\},\\H_{1/12}&=12-3\!\left(\ln {2}+{\frac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \!\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}$

調和数の列の母函数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}}}$

で与えられる（ln(z) は自然対数）。また、冪指数型母函数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}$

となる。ここで Ein(z) は整指数積分で、

${\displaystyle {\text{Ein}}(z)={\text{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$

が成り立つものである（ただし、Γ(0, z) は不完全ガンマ函数）。

調和数は、ディガンマ関数に対する

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

のような、いくつかの特殊函数に関する計算公式に現れる。このような関係式は、しばしば調和数のパラメータ n を整数以外に拡張するための定義式としても利用される。先の節で述べたような極限によって、調和数から定数 γ を定義することがよく行われるが、

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}$

としたほうが収斂が早い。

2002年にジェフリー・ラガリアスは、リーマン予想が「不等式

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}$

が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。