調和数列

数列 ${\displaystyle (a_{n})}$ の各項が 0 でなく、

${\displaystyle {\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}=d}$

を満たすとき、${\displaystyle (a_{n})}$ は調和数列である。ここで ${\displaystyle d}$ は一定であり、逆数列の公差に当たる。したがって、ある定数 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle d}$ を用いて

${\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}=\alpha +(n-1)d}$

と表すことができる。^[2][3]

上の定義から、調和数列の一般項は

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\alpha +(n-1)d}}}$

の形に書ける。ただし、分母が 0 になる項は定義できないので、そのような添字は除かなければならない。特に

${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots }$

は、逆数列

${\displaystyle 1,2,3,4,\dots }$

が等差数列であるから、最も基本的な調和数列の例である。^[4]

調和数列は一般には等差数列でも等比数列でもないが、逆数をとると等差数列になるため、等差数列の性質を逆数を通じて読み替えることができる。特に、連続する3項 ${\displaystyle a,b,c}$ が調和数列をなすことと、

${\displaystyle {\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}},{\frac {1}{c}}}$

が等差数列をなすことは同値である。したがって

${\displaystyle {\frac {2}{b}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}}$

が成り立つ。^[5]

また、上式を変形すると

${\displaystyle b={\frac {2ac}{a+c}}}$

となる。これは ${\displaystyle b}$ が ${\displaystyle a}$ と ${\displaystyle c}$ の調和平均であることを示している。したがって、調和数列では各項は隣接する2項の調和平均として特徴づけられる。^[6][7]

数列

${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots }$

は調和数列である。逆数列は

${\displaystyle 1,2,3,4,\dots }$

であり、公差 1 の等差数列である。^[8]

また、

${\displaystyle 1,{\frac {2}{3}},{\frac {1}{2}}}$

も調和数列である。実際、その逆数列

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},2}$

は公差 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ の等差数列となる。これは音律における弦の長さの比の例としてしばしば挙げられる。^[9]

「調和」という語は、古くから音楽と幾何学の双方で用いられてきた。音律においては、弦の長さや振動数の比が単純な整数比で表される場合が重視され、その説明の中で調和数列が現れることがある。また幾何学では、調和分割や調和比などの語に同じ語源が残っている。^[10][11]

ただし、調和数列そのものと調和級数は別概念である。調和級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

で定まる級数であり、調和数列 ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots }$ の各項を加えたものである。^[12]