貴金属比

貴金属数の累乗

• 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。
• 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。

連分数表示

貴金属数の連分数表示は

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

である。

数列の商の極限

黄金数（第1貴金属数）が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {M_k} を、漸化式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}$

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}$

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }$

が成り立つ。