近傍系

近傍系と開近傍系

(X, O) が位相空間で、x ∈ X であるとき、x の近傍全体の集合を x の近傍系といい、x の開近傍全体の集合を x の開近傍系という。x の近傍系を記号 V(x) で、x の開近傍系を記号 V_o(x) でそれぞれ表すと、以下のように書くことができる（ただし、int(V) は V の内部である）。

${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\mathcal {V}}(x)&=&\left\{V\subset X\mid \exists U\in {\mathcal {O}}\ {\text{ s.t. }}\ x\in U\subset V\right\}\\&=&\left\{V\subset X\mid x\in {\text{int}}(V)\right\}\\{\mathcal {V}}_{o}(x)&=&\left\{U\in {\mathcal {O}}\mid x\in U\right\}\ \subset \ {\mathcal {V}}(x)\end{array}}}$

基本近傍系

(X, O) が位相空間で、x ∈ X で、V(x) が x の近傍系で、B(x) ⊂ V(x) であるとき、B(x) が x の基本近傍系であるとは、

${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {V}}(x),\exists B\in {\mathcal {B}}(x)\ {\text{ s.t. }}\ B\subset V}$

が成り立つことである。例えば、x の近傍系 V(x) や x の開近傍系 V_o(x) はいずれも x の基本近傍系である。

逆に、最初に基本近傍系 B(x) を公理的に定義し、それから（開集合族や）近傍系 V(x) を定義することもできる。それには

${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\left\{V\subset X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}(x)\ \mathrm {s.t.} \ B\subset V\right\}}$

とすればよい^[1]。

近傍系の公理

近傍系は以下のように公理的に特徴づけられる^[2]。X ≠ ∅ で、X の各点 x に対して 2^X の空でない部分集合 V(x) がそれぞれ与えられていて、次の 4 つの条件が成り立つならば、集合 X 上に V(x) を近傍系とする位相（開集合族）が唯一つ定まる。

• ${\displaystyle \forall U\subseteq X,\ V\in {\mathcal {V}}(x):\ V\subseteq U\implies U\in {\mathcal {V}}(x)}$
• ${\displaystyle \forall U_{1},\dotsc ,U_{n}\in {\mathcal {V}}(x):\ \bigcap _{i=1}^{n}U_{i}\in {\mathcal {V}}(x)}$
• ${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {V}}(x):\ x\in U}$
• ${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {V}}(x),\ \exists V\in {\mathcal {V}}(x):\ \forall y\in V,\ U\in {\mathcal {V}}(y)}$

言葉で書くと次のようになる。

• V が x の近傍ならば、V⊆U⊆X なる集合 U も x の近傍である。
• x の近傍を有限個とると、その共通部分も x の近傍である。
• x の近傍は x 自身を元にもつ。
• U を x の近傍とする。 U 上の点 y で、 U が y の近傍でもあるようなものの全体を U の内部といい int(U) で表す。
  ${\displaystyle \mathrm {int} (U):=\{y\in U:\ U\in {\mathcal {V}}(y)\}}$
  このとき、 x の別の近傍 V で V⊆int(U) であるようなものが存在する。実はこのような V で最大のものが存在して int(U) に等しい。