弱位相

以下、Kを実数体${\displaystyle \mathbb {R} }$もしくは複素数体${\displaystyle \mathbb {C} }$とする。

一方、Xのノルムにより定まる位相の事をノルム位相という。

ノルム空間上の線型写像が有界である必要十分条件は、その線型写像がノルム位相連続である事である。したがってX^*の元はノルム位相に関して必ず連続である。

それに対しX^*の元を連続にする最弱の位相であるので、以下が従う：

この為、ノルム位相の事をXの強位相（英: strong topology）ともいう。

弱位相は、始位相（英語版）として、より具体的に定義することもできる。X の点 x₀、α ∈ X^*、ε > 0 に対して、

${\displaystyle U(x_{0},\alpha ,\varepsilon )=\{x\in X\mid |\alpha (x)-\alpha (x_{0})|<\varepsilon \}}$

という形の集合（準開基の元）を考える。これら全ての集合の有限個の共通部分がなす集合族を開基とする位相が、X 上の弱位相である。

Xの係数体K（${\displaystyle =\mathbb {R} ,~\mathbb {C} }$）の位相はK上の絶対値をノルムと見なしたときのノルム位相と一致する事から、弱位相を以下のようにも特徴づけられる：

よって特に、Xに弱位相を入れた空間は局所凸である。したがって弱位相は最も粗い極位相（弱位相 (極位相)を参照）でもある。

また、ノルム空間の共役空間 X^* が X の点を分離する（すなわち、任意の x ≠ 0 に対し α ≠ 0 となる α ∈ X^* が存在する。これはハーン＝バナッハの定理の帰結である）ことから、弱位相はハウスドルフ性を満たす。

弱収束・強収束

弱位相による収束は、以下のように定義される。

定義 ―  ノルム空間 X の点列 x_n が x に弱収束（英: weakly converge）するとは、X の共役空間 X^* の任意の元 α に対して、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha (x_{n})=\alpha (x)}$

が成り立つことをいう。

弱位相における点列（もしくはより一般に有向点族）x_nの収束を弱収束といい、

${\displaystyle x_{n}{\overset {\text{w}}{{}\longrightarrow {}}}x}$

${\displaystyle x_{n}\longrightarrow x}$ （弱）

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}x_{n}=x}$

等と表記する^[1]。

一方ノルム位相に対する収束（ノルム収束）は強収束とも呼ばれ、弱収束と区別するため

${\displaystyle x_{n}{\overset {\text{s}}{{}\longrightarrow {}}}x}$

${\displaystyle x_{n}\longrightarrow x}$ （強）

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{s-lim}}}x_{n}=x}$

等と表記する^[1]。

ヒルベルト空間における強収束と弱収束の関係

ヒルベルト空間においては弱収束する点列が強収束するための必要十分条件が以下のように与えられる：

定理 ― Xをヒルベルト空間とする。点列x_nがxに強収束する必要十分条件は、x_nがxに弱収束し、しかも${\displaystyle \|x_{n}\|\to \|x\|}$が成立する事である^[2]。

ノルム空間Xの共役空間X^*には、作用素ノルム

${\displaystyle \|\alpha \|_{*}=\sup _{x\in X\setminus \{0\}}{|\alpha (x)| \over |x|}}$

が定義でき、このノルムからノルム位相が定まる。またX^*自身も作用素ノルムに関してノルム空間であることからX^*には弱位相も入り、定義よりこれはX^*の共役空間（二重共役空間）X^**に属する写像を全て連続にする最弱の位相である。

さらにX^*には下記の＊弱位相も入る：

各 x ∈ X に対し μ_x は X^* 上の有界線形写像、すなわち μ_x ∈ X^** となる。写像 ${\displaystyle J:x\mapsto \mu _{x}}$ は X から X^** への線形な等長埋め込み（自然な埋め込みと呼ばれる）であり、${\displaystyle J(X)\subset X^{**}}$ と見なせる。

ハーン＝バナッハの定理の帰結として、X の元（の J による像）は X^* の点を分離する（すなわち、任意の α ≠ 0 に対し ${\displaystyle \mu _{x}(\alpha )=\alpha (x)\neq 0}$ となる x ∈ X が存在する）ため、＊弱位相はハウスドルフ性を満たす。

X^** の定義（X^* 上の全ての有界線形写像）は X^* の弱位相を誘導するのに対し、＊弱位相は ${\displaystyle J(X)\subset X^{**}}$ という（真の）部分集合のみによって誘導されるため、以下が従う：

つまりX^*に入る位相は強い順からノルム位相、弱位相、＊弱位相である。

なお、定義より明らかに次が従う：

位相空間論の言葉を使うと、＊弱位相を別の角度から特徴づける事ができる。そのためにまず定義を述べる：

このとき次が従う：

＊弱収束

＊弱位相による収束は、以下のように定義される。

定義 ―  共役空間 X^* の点列 α_n が α に＊弱収束（英: weak-* converge）するとは、X の任意の元 x に対して、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\alpha _{n}(x)=\alpha (x)}$

が成り立つことをいう。

＊弱位相における点列（ないしより一般的な有向点族）の収束を＊弱収束^[4]（英: weak-* convergence）もしくは汎弱収束^[4][5]といい、

${\displaystyle \alpha _{n}{\overset {{\text{w}}^{*}}{{}\longrightarrow {}}}\alpha }$

${\displaystyle \alpha _{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}\alpha }$

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{{\text{w}}^{*}{\text{-lim}}}}\alpha _{n}=\alpha }$

等と表記する^[5]。

${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$区間上の複素数値2乗可積分関数のなすヒルベルト空間${\displaystyle H=}$L²([-π,π])を例に強収束と弱収束の違いを見る。なお、ヒルベルト空間は再帰的な事が知られているので、弱位相と＊弱位相は同一である。

${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$をL²(-π,π)の完全正規直交基底とする。例えば

${\displaystyle \varphi _{n}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{inx}\quad (n\in \mathbb {Z} )}$

とすると、${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$が完全正規直交基底になる事が知られている^[6]（フーリエ展開を参照）。

ここで、点列 ${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$（または ${\displaystyle n\to \infty }$ の極限）を考える。${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ の正規直交性から、${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} ,n\neq m}$に対し

${\displaystyle \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|^{2}=\langle \varphi _{n}-\varphi _{m},\varphi _{n}-\varphi _{m}\rangle =\|\varphi _{n}\|^{2}-\langle \varphi _{n},\varphi _{m}\rangle -\langle \varphi _{m},\varphi _{n}\rangle +\|\varphi _{m}\|^{2}=1-0-0+1=2}$

よって ${\displaystyle \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|={\sqrt {2}}}$

であるので、${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$はコーシー列ではなく、よってn→∞のとき強収束の極限は存在しない。

しかし${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$は0に弱収束する。

理由は下記の通りである。ヒルベルト空間の共役空間H^*の任意の元αには、リースの表現定理により、

${\displaystyle \alpha (\xi )=\langle \xi ,\psi \rangle \quad (\xi \in H)}$

を満たすψ ∈ Hが（内積の第一引数に関して線形、第二引数に関して共役線形を仮定した場合）一意に存在する。

${\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$は完全正規直交基底であるから、ψ は次のようにフーリエ展開できる。

${\displaystyle \psi =\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\varphi _{k}(a_{k}=\langle \varphi _{k},\psi \rangle )}$

ここで ${\displaystyle \psi \in H}$ であるから、パーセバルの等式（またはベッセルの不等式）より ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }|a_{k}|^{2}=\|\psi \|^{2}<\infty }$ が成り立つ。この級数が収束することから、

${\displaystyle \lim _{|k|\to \infty }a_{k}=0}$

である。

以上の事から任意のα ∈ H^*（に対応する ψ）に対し、

${\displaystyle \alpha (\varphi _{n})=\langle \varphi _{n},\psi \rangle =\langle \varphi _{n},\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\varphi _{k}\rangle =\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {a_{k}}}\langle \varphi _{n},\varphi _{k}\rangle ={\overline {a_{n}}}}$

（ここで ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ の連続性と ${\displaystyle \varphi _{n}}$ の直交性を用いた）。 よって、n → ∞のとき（${\displaystyle |n|\to \infty }$ のとき ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ なので）、

${\displaystyle \alpha (\varphi _{n})={\overline {a_{n}}}\to 0}$

となり、

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}\varphi _{n}=0}$

が成立する。

バナッハ＝アラオグルの定理

ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う：

命題 ― ${\displaystyle \mathbb {R} }$もしくは${\displaystyle \mathbb {C} }$上のノルム空間Xの閉単位球がノルム位相に関してコンパクトである必要十分条件はXが有限次元である事である。

したがって無限次元の場合、X^*の閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。しかし、X^*の閉単位球は＊弱位相に関してはコンパクトになる：

定理 (バナッハ＝アラオグルの定理) ― Kを${\displaystyle \mathbb {R} }$もしくは${\displaystyle \mathbb {C} }$とする。このときK上のノルム空間${\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})}$の共役空間${\displaystyle (X^{*},\|\cdot \|_{X^{*}})}$に＊弱位相を入れると、X^*の閉単位球は

${\displaystyle B^{*}=\{\alpha \in X^{*}\mid \|\alpha \|_{X^{*}}\leq 1\}}$

はコンパクトである。

この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる^[7]。なおノルム空間Xが（ノルム位相に関して）可分な場合、X^* の閉単位球 B^* 上の＊弱位相は距離化可能であり（#距離化可能性の節を参照）、その場合は（点列コンパクト性を利用した）より直接的な証明が可能である^[8]。

バナッハ＝アラオグルの定理は単位閉球に関するものであるが、スカラー倍写像の連続性から、任意の半径の（ノルム）閉球も＊弱位相に関してコンパクトであることが従う。

系 ― X*に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合は（＊弱位相に関して）コンパクトである。

バナッハ＝アラオグルの定理の重要な帰結として、回帰的空間の弱コンパクト性がある。 Xが回帰的（すなわち、自然な埋め込み ${\displaystyle J:X\to X^{**}}$ が全射）である場合、 J は X （に弱位相を入れた空間）から X^** （に＊弱位相を入れた空間）への同相写像となる。このため、X 上の弱位相と X^** 上の＊弱位相は同一視できる。 このこととバナッハ＝アラオグルの定理（を X^* の共役空間 X^** に適用したもの）から、以下の系が従う。

系 ― Xが回帰的なノルム空間であれば、Xの有界閉集合は弱位相に関してコンパクトである。

1 < p < ∞に対しL^p空間やℓ^p空間は回帰的なので、上記の定理が適用できる。しかし回帰的でない場合には上述の定理に反例があり、例えば0に収束する複素数列全体にℓ^∞ノルムを入れた空間c₀の閉単位球は弱位相に関してコンパクトではない^[9]。

X（したがって X^*）が無限次元である場合、弱*位相における（ノルム）有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、無限次元空間では、たとえ閉単位球がコンパクトであっても弱*位相をいれたX^*が局所コンパクトにはなっていない事を意味する。

距離化可能性

ノルム空間 X の弱位相、およびその共役空間 X^* の＊弱位相の距離化可能性については、以下の性質が知られている。

定理 ―  ノルム空間 X が無限次元であれば、その弱位相は距離化可能ではない。

定理 ―  ノルム空間 X が可分である場合、X^* の閉単位球 B^* 上の＊弱位相は距離化可能である^[8]。

定理 ―  X が無限次元のバナッハ空間なら、X^* 全体で考えた＊弱位相は距離化可能ではない^[10]。

弱位相の概念は下記のように一般化できる：

この一般化は、本項で定義した弱位相および＊弱位相を、双対組の概念を用いて以下のように含んでいる。

• X の弱位相（σ(X,X^*)）: 一般化の定義で X はそのまま、Y = X^* とし、双線型写像を ${\displaystyle b(x,\alpha )=\alpha (x)}$ と定義する。このとき、1番目の定義（X 上の位相）が X の弱位相に一致する。
• X^* の＊弱位相（σ(X^*,X)）: 一般化の定義で X を X^*、Y を X と読み替え、双線型写像を ${\displaystyle b(\alpha ,x)=\alpha (x)}$ と定義する。このとき、1番目の定義（この場合は X^* 上の位相）が X^* の＊弱位相に一致する。

弱作用素位相

X と Y を位相ベクトル空間とするとき、連続線型作用素の空間 L(X,Y) に下記のように弱作用素位相を定義できる：

定義 ― Kを${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、もしくはより一般に位相体とし、X、YをK上の位相ベクトル空間とし、L(X,Y)をXからY連続線形写像全体の集合とする。

このとき、任意のx ∈ Xと任意のα ∈ Y^*に対し、

${\displaystyle T\in L(X,Y)\mapsto \alpha (T(x))\in K}$

が連続になる最弱の位相をL(X,Y)の弱作用素位相という。

X 上の弱位相の場合と同様、L(X,Y)上の弱作用素位相もセミノルムによって特徴づけられる：

命題 ― K、X、Y、L(X,Y)を上の定義と同様に取る。

このとき、x ∈ X、α ∈ Y^*に対しL(X,Y)上のセミノルムを

${\displaystyle \|T\|_{x,\alpha }=|\alpha (T(x))|}$

により定義すると、L(X,Y)上の弱作用素位相はセミノルムの族${\displaystyle (\|\cdot \|_{x,\alpha })_{x\in X,\alpha \in Y^{*}}}$が定める位相と一致する。

連続線形写像の空間L(X,Y)上には弱作用素位相以外にも強作用素位相、＊弱作用素位相（英語版）など複数の位相が入る。詳細は作用素位相を参照されたい。

• エバーライン・コンパクト（英語版）：弱位相におけるコンパクト集合
• 測度の弱収束（英語版）
• 漠位相（英語版）