近接空間

近接空間 ${\displaystyle (X,\delta )}$ は集合 ${\displaystyle X}$ に次の性質を持つ ${\displaystyle X}$ の部分集合間の関係 ${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}$ を備えたものである：

${\displaystyle X}$ の全ての部分集合 ${\displaystyle A,B,C}$ に対して

1. ${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B\implies B{\boldsymbol {\delta }}A}$
2. ${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B\implies A\neq \varnothing }$
3. ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing \implies A{\boldsymbol {\delta }}B}$
4. ${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}(B\cup C)\iff A{\boldsymbol {\delta }}B}$ または ${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}C}$
5. ${\displaystyle (\forall E,\ A{\boldsymbol {\delta }}E}$ または ${\displaystyle B{\boldsymbol {\delta }}(X\setminus E)}$) ${\displaystyle \implies A{\boldsymbol {\delta }}B.}$

最初の公理を除いた近接性は擬近接性（quasi-proximity）と呼ばれる。（ただし公理2と4は対称的な形で述べ直されなければならない。）

${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B}$ のとき ${\displaystyle A}$ は ${\displaystyle B}$ に近い、あるいは ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ は近接していると言われる。そうでないときには、${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ は離れていると言われる。${\displaystyle B}$ が ${\displaystyle A}$ の近接あるいは ${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}}$-近傍である（${\displaystyle A\ll B}$ と書かれる）とは、${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle X\setminus B}$ が離れていることをいう。

この集合近傍関係の主要な性質を以下に列挙した。これは近接空間の別の公理的な特徴付けを与える。

${\displaystyle X}$ の全ての部分集合 ${\displaystyle A,B,C,D}$ に対して

1. ${\displaystyle X\ll X}$
2. ${\displaystyle A\ll B\implies A\subseteq B}$
3. ${\displaystyle A\subseteq B\ll C\subseteq D\implies A\ll D}$
4. ${\displaystyle (A\ll B}$ かつ ${\displaystyle A\ll C}$) ${\displaystyle \implies A\ll B\cap C}$
5. ${\displaystyle A\ll B\implies X\setminus B\ll X\setminus A}$
6. ${\displaystyle A\ll B\implies \exists E,\ A\ll E\ll B.}$

近接空間が分離的（separated）とは、${\displaystyle \{x\}{\boldsymbol {\delta }}\{y\}}$ が ${\displaystyle x=y}$ を含意することをいう。

近接写像（proximal map）とは近さを保つ写像である。つまり、${\displaystyle f\colon (X,{\boldsymbol {\delta }})\to (X^{\ast },{\boldsymbol {\delta }}^{\ast })}$ が与えられたときに、${\displaystyle X}$ において ${\displaystyle A{\boldsymbol {\delta }}B}$ ならば、${\displaystyle X^{\ast }}$ において ${\displaystyle f(A){\boldsymbol {\delta }}^{\ast }f(B)}$ が成り立つということである。同値であるが、写像が近接（proximal）とは、逆像が近接近傍性を保つことをいう。同じ表記のもとで、これは ${\displaystyle C\ll ^{\ast }D}$ が ${\displaystyle X^{\ast }}$ で成り立つなら、${\displaystyle f^{-1}(C)\ll f^{-1}(D)}$ が ${\displaystyle X}$ で成り立つことを意味する。