連続率

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形式的には、連続率とは、0 において 0 となり、0 において連続であるような任意の増加実拡張値関数 ω : [0, ∞] → [0, ∞]、すなわち

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0}$

を満たす関数を指す。

連続率は、主に距離空間間の関数に対し、以下の定義に従って点における連続性と一様連続性の両方を定量的に説明するために使用される。

関数 f : (X, d_X) → (Y, d_Y) が X 内の点 x において（局所的な）連続率として ω を認めるための必要十分条件は、以下を満たすことである：

${\displaystyle \forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

また、f が（大域的な）連続率として ω を認めるための必要十分条件は、以下を満たすことである：

${\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

同等の表現として、ω は f の（点 x における）連続率である、あるいは簡潔に f は（点 x において）ω-連続であると言う。本稿では主に大域的な概念を扱う。

• f が連続率 ω を持ち、ω₁ ≥ ω であるならば、f は ω₁ も連続率として認める。
• f : X → Y と g : Y → Z が距離空間間の関数であり、それぞれの連続率が ω₁ および ω₂ である場合、合成写像 ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ は連続率 ${\displaystyle \omega _{2}\circ \omega _{1}}$ を持つ。
• f と g が距離空間 X からバナッハ空間 Y への関数であり、それぞれの連続率が ω₁ および ω₂ である場合、任意の線形結合 af+bg は連続率 |a|ω₁+|b|ω₂ を持つ。ω を連続率として持つ X から Y へのすべての関数集合は、ベクトル空間 C(X, Y) の凸部分集合であり、各点収束に関して閉じている。
• f と g が距離空間 X 上の有界実数値関数であり、それぞれの連続率が ω₁ および ω₂ である場合、点ごとの積 fg は連続率 ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}}$ を持つ。
• ${\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ が共通の連続率 ω を持つ距離空間 X 上の実数値関数族である場合、それらの下包絡線（下境界）${\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$ および上包絡線（上境界）${\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$ は、すべての点において有限値をとる限り、連続率 ω を持つ実数値関数となる。もし ω が実数値であれば、包絡線が X の少なくとも 1 点で有限であれば十分である。

• 著者によっては単調性を要求しない場合や、ω が連続であるといった追加の性質を求める場合もある。しかし、より緩い定義で連続率を認める関数 f は、(0, ∞) において増加かつ無限回微分可能な連続率も認める。
• 任意の一様連続関数は、最小の連続率 ω_f を認め、これはしばしば f の（最適）連続率と呼ばれる：

$${\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$

同様に、点 x で連続な関数は、x における最小の連続率 ω_f(t; x) を認める。しかし、多くの場合これらは明示的に計算できず、上界からのみ評価される。

• 一般に、距離空間上の一様連続関数の連続率は +∞ の値をとる必要がある場合がある。例えば、離散距離を備えた N 上の関数 f(n) := n² などが挙げられる。しかし、ノルム空間のコンパクトまたは凸部分集合上で定義された一様連続関数の場合は状況が異なる。

特別な連続率は、拡張可能性や一様近似といった関数の特定の大域的な性質も反映する。本節では、凹、劣加法的、一様連続、または亜線形な連続率を主に扱う。これらは本質的に同等であり、連続率 ω について以下の各性質は次の性質を導く：

• ω は凹である。
• ω は劣加法的である。
• ω は一様連続である。
• ω は亜線形（sublinear）である。すなわち、すべての t に対して ω(t) ≤ at+b となる定数 a, b が存在する。
• ω は凹な連続率によって支配される。すなわち、すべての t に対して ${\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}$ となる凹な連続率 ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ が存在する。

したがって、距離空間間の関数 f について、凹、劣加法的、一様連続、または亜線形のいずれかの連続率を認めることは同等である。この場合、関数 f は「特別に一様連続な」写像と呼ばれることがある。これは、定義域がコンパクトまたは凸である場合には常に真である。

• f : [a, b] → R を連続関数とする。f がリーマン積分可能であることの証明において、リーマン分割 P に対する上・下リーマン和の距離を、f の連続率と分割のメッシュ（最大幅）|P| を用いて評価することが一般的である：

$${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}$$

• フーリエ級数での使用例については、ディニの判定法（Dini test）を参照。

Steffens (2006, p. 160) によると、連続率に対してオメガ（ω）を最初に使用したのはルベーグ（1909）であり、そこではフーリエ変換の振動を指していた。シャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン（1919）は、「連続率（modulus of continuity）」と「振動率（modulus of oscillation）」の両方の名称に言及し、「我々が今後行う用途に注意を引くため連続率を選択する」と結論づけている。

1 ≤ p とし、f : Rⁿ → R を L^p クラスの関数、h ∈ Rⁿ とする。f の h-平行移動 (τ_hf)(x) := f(x−h) は L^p クラスに属する。さらに 1 ≤ p < ∞ であれば、ǁhǁ → 0 のとき以下が成り立つ：

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}$

これは、写像 h → τ_h が L^p の線形等長変換の強連続群を定義することを意味する。この概念を一様連続関数の連続率の概念から一般化し、可測関数 f : X → R の L^p 連続率 ω とは、以下を満たす ω : [0, ∞] → [0, ∞] を指す：

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}$