フーリエ級数の収束

区間 [0, 2π] で可積分な f を考える。f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$ は以下のように定められる。

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt,\quad n\in \mathbf {Z} .}$

関数 f とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

ここで ∼ は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、部分和を以下のように定義する：

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

このとき気になるであろう問題は次の事である：

• 関数 S_N(f;t) は f へ、またどの意味で収束するだろうか？　
• 収束を保証する f の条件は何だろうか？

この記事ではこれらの問に関する議論を主として扱う。

先を続ける前にディリクレ核 (Dirichlet kernel) について説明しておく。フーリエ係数 ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$ の公式を部分和 S_N に対して適用すると、最終的に

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}\,}$

という関係が得られる。ここで ∗ は巡回畳み込みを意味し、D_N は以下に示すディリクレ核である：

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

ディリクレ核は正値ではなく 、実際そのノルムは発散する。

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,dt\to \infty }$

この性質はフーリエ級数の収束に関する議論で極めて重要な役割を果たす。L ¹(T) 上の D_n のノルムは、C(T) 空間の周期的連続関数に作用する D_n 畳み込み作用素のノルムと一致し、また C(T) 上の線型汎関数 ƒ → (S_nƒ)(0) のノルムに一致する。従って、この C(T) 上の線型汎関数の族は n → ∞ としたときに収束しない。

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応用においてフーリエ係数の大きさを知ることがしばしば重要になる。 関数 f が絶対連続であるなら、関数 f のみに依存する定数 K について、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}.}$

f が有界変動関数（英語版）であるなら、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}$

f ∈ C ^p なら以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.}$

f ∈ C ^p かつ f ^(p) が ω_p の連続率を持つなら^[要出典]、

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}}$

が成り立つ。従って、f は α-ヘルダークラス（英語版）である（リプシッツ連続も参照）。

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}$

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点 x_0 を与えたとき、その点で関数のフーリエ級数が収束する十分条件については次がよく知られている；

f が周期 2π の区分的に C¹ 級の可積分関数であり、点x_0での左微分と右微分を持つとする。このときfのフーリエ級数は

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}-0)+f(x_{0}+0)\right)}$

に収束する（ここでf (x ± 0) = lim_{h ↓ 0} f (x ± h) ）。

つまりたとえ跳躍不連続点であっても、関数がそこで左微分と右微分を持つ場合、そのフーリエ級数はそこでの左極限値と右極限値のちょうど中間に収束する（ギブズ現象も参照）。

ディリクレ＝ディニ条件 (Dirichlet–Dini criterion) f が 2π-周期的であり、局所可積分かつ次の条件

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\Bigl |}{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell {\Bigr |}\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,}$

を満たすなら、(S_nƒ)(x₀) は ℓ に収束する。

このことは、任意のヘルダー条件を満たす関数 f は、そのフーリエ級数が至るところで ƒ(x) に収束することを示している。

ヘルダー条件を満たすなら、そのフーリエ級数は一様収束することも知られている。

連続関数のフーリエ級数が点 0 で発散する具体的な例を構成することができる。例えば、すべての ${\displaystyle x\in [0,\pi ]}$ に対して次のように定義される偶関数かつ ${\displaystyle 2\pi }$-周期関数 ${\displaystyle f}$ を考える^[1]：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

この関数は一様に収束する項の和であるため連続である。この関数のフーリエ係数 ${\displaystyle C_{m}}$ を詳細に解析すると、${\displaystyle x=0}$ におけるフーリエ級数の部分和は、${\displaystyle n}$ 番目の「波」においておおよそ ${\displaystyle {\frac {n}{\pi }}\ln 2}$ の大きさに達し、${\displaystyle n\to \infty }$ で有界ではないことが示される。

• f が有界変動関数の場合、そのフーリエ級数は至るところで収束する（ディニの判定法）。
• f が連続でそのフーリエ級数が絶対総和可能の場合、フーリエ級数は一様収束する。

フーリエ級数が各点収束しても一様収束しないような連続関数が存在する^[2]。

連続関数fのフーリエ級数が収束するならその極限関数Sはfに等しい。これはフーリエ級数の部分和のチェザロ平均がSに収束することとフェイェールの定理による。

しかしながら、連続関数のフーリエ級数が各点収束する必要はない。そのことは最も簡単には、L¹(T) のディリクレ核が収束しないことと、バナフ＝シュタインハウスの一様有界性原理を用いることで証明できる。これはベールの範疇定理を使った典型的な存在証明であり、証明は非構成的である。このことは、与えられた x に対してフーリエ級数が収束するような連続関数の族について、その族が円上の連続関数がなすバナッハ空間において第一類であることを示す。 従って各点収束するフーリエ級数はある意味で非典型的 であり、多くの連続関数のフーリエ級数は与えられた点について収束しない。しかしながらカルレソンの定理によって、与えられた連続関数のフーリエ級数がほとんど至るところで収束することが示されている。

次はダナム・ジャクソン（英語版）によって最初に示された。

f ∈ C ^p かつ f ^(p) は連続率 ω を持つとすると（また ω は非減少的であるとする）、フーリエ級数の部分和は元の関数に次のような早さで収束する^[3]。

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N).}$

ここで K は f にも p にも N にも依存しない定数である。

この定理は、例えば f が α-ヘルダー条件を満たす場合、

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}}$

で押さえられることを示す。f が 2π 周期的であり [0, 2π] で絶対連続ならば、関数 f のフーリエ級数は f に一様収束する。ただし絶対収束するとは限らない^[4]。

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関数 f が絶対収束するフーリエ級数を持つ場合、

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

この条件が成り立つ限り、(S_N f)(t) がすべての t について絶対収束すること、また (S_N f)(t) がひとつの t について絶対収束するだけであってもこの条件が成り立つことは明らかである。 すなわち、ある 1 点でそれが絶対収束するならば、すべての点で絶対収束する。言い換えれば、絶対収束性はどこ で部分和が絶対収束するかを問題としない。

フーリエ級数が絶対収束するすべての関数の族はバナッハ代数である（この代数における乗法は、単純な関数の積である）。また、これはノーバート・ウィーナーに因んでウィーナー代数（英語版）と呼ばれる。ウィーナーは f が絶対収束するフーリエ級数を持ち、かつそれがゼロにならない場合に 1/f が絶対収束するフーリエ級数を持つことを証明した。オリジナルのウィーナーの定理の証明は異なっており、バナッハ代数の性質を利用してそれを単純化したのはイズライル・ゲルファントである。最終的に短い初等的な証明を与えたのはドナルド・ニューマン（英語版）であり1975年の事である。

f がα > 1/2 について α-ヘルダークラスに属するならば、 ヘルダー条件における定数 ||f ||_Lipα、α のみに依存する定数 c_α について、

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},}$

${\displaystyle \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2},}$

が成り立つ。また ||f ||_K はクレイン代数におけるノルムである。条件にあった 1/2 が基本的な役割を果たしていることに注意する。1/2 ヘルダー関数はウィーナー代数に属さないのである。またこの定理は、よく知られている α-ヘルダー関数のフーリエ係数の大きさの上限、O(1/n^α) を改良することはできず、このときフーリエ級数は総和可能ではない。

f が有界変動関数でありかつある α > 0 について α-ヘルダークラスに属するなら、関数 f はウィーナー代数に属する。

連続関数のフーリエ級数がほとんど (数学)至る所収束するかという問題は、1920年代にニコライ・ルージンによって提起された。 この問題は1966年にレンナルト・カルレソンによって肯定的に解決された。 カルレソンの定理として知られるようになった彼の結果は、L^2における任意の関数のフーリエ展開はほとんど至る所収束するというものである。 その後、リチャード・ハント（英語版）がLp（1<p<∞） のFourier 級数はほとんど至るところで収束することを示した (1967)。

これとは逆に、アンドレイ・コルモゴロフは、19歳の学生のとき、最初の科学的研究で、L^1においてフーリエ級数がほとんど至る所発散する関数の例を構成した（後に、全ての点で発散するように改良された(1926)）。

Jean-Pierre KahaneとYitzhak Katznelsonは、測度0の任意の集合Nに対して、ƒのフーリエ級数がNの上で収束しないような連続関数ƒが存在することを証明した。

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リース＝フィッシャーの定理によれば、${\displaystyle f}$ が二乗可積分（${\displaystyle f\in L^{2}}$）であれば、フーリエ級数の部分和 ${\displaystyle S_{N}f}$ は ${\displaystyle L^{2}}$ ノルムに関して ${\displaystyle f}$ に収束する。すなわち、 $${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=0}$$ が成り立つ。逆もまた真であり、この極限が 0 であれば ${\displaystyle f}$ は ${\displaystyle L^{2}}$ に属さなければならない。

より一般に、${\displaystyle 1<p<\infty }$ においては、${\displaystyle f\in L^{p}}$ ならば ${\displaystyle S_{N}f}$ は ${\displaystyle L^{p}}$ ノルムで ${\displaystyle f}$ に収束する^[5]。しかし、${\displaystyle p=1}$ および ${\displaystyle p=\infty }$ の場合にはこの収束は一般には成立しない^[6]。

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通常の意味で収束しない級数であっても、チェザロ平均などの総和法を用いることで、より良い収束性を得られる場合がある。部分和の平均（フェイェール和）を以下のように定義する：

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1.}$

この ${\displaystyle K_{N}}$ はフェイェール核 ${\displaystyle F_{N}}$ との畳み込み ${\displaystyle K_{N}f=f*F_{N}}$ として表される。ディリクレ核と異なり、フェイェール核は正値核（${\displaystyle F_{N}\geq 0}$）である。フェイェールの定理は、連続関数 ${\displaystyle f}$ に対してこの部分和の列が ${\displaystyle f}$ に一様収束することを述べている。これにより、以下の優れた性質が導かれる：

• ${\displaystyle f}$ が点 ${\displaystyle t}$ で連続であれば、${\displaystyle f}$ のフーリエ級数は ${\displaystyle t}$ において ${\displaystyle f(t)}$ に総和可能である。
• 任意の可積分関数 ${\displaystyle f\in L^{1}}$ に対して、${\displaystyle K_{N}f}$ は ${\displaystyle L^{1}}$ ノルムで ${\displaystyle f}$ に収束する。
• ギブズ現象が発生しない。

ディリクレ核の ${\displaystyle L^{1}}$ ノルムの増大度は対数的である：

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).}$

この評価は、前述の結果の定量的バージョンを導く。任意の連続関数 ${\displaystyle f}$ と任意の点 ${\displaystyle t}$ に対して、${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0}$ が成り立つ。一方で、${\displaystyle \log N}$ より遅い任意の増大度 ${\displaystyle \omega (N)}$ に対して、${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty }$ となるような連続関数 ${\displaystyle f}$ が存在する。

2次元以上の多次元におけるフーリエ級数の収束を考える場合、部分和の定義（総和の順序）を指定する必要がある。

• 正方形部分和: ${\displaystyle \sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}\dots }$
• 円形部分和: ${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}\dots }$

これら二つの定義の差は著しい。例えば、正方形部分和に対応するディリクレ核のノルムは ${\displaystyle \log ^{2}N}$ のオーダーであるが、円形部分和の場合は ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ のオーダーとなる。1次元で成立する多くの結果が多次元では未解決、あるいは偽となる。特に、円形部分和におけるカルレソンの定理の対応物は、現在も未解決の問題である。正方形部分和（およびより一般的な多角形部分和）については、1970年頃にチャールズ・フェフェマンによって、ほとんど至る所収束することが確立された。