過不足算

ある個数のものを何人かに分けたときの過不足の情報が2つ与えられる。そこから、人数と全体の個数を求める問題。似たような問題に差集め算がある。いずれも、

全体の差÷1つあたりの差=個数

という式が成り立つ。

古くは「盈（えい）不足算」ともいわれていた。

• 中国の数学書『九章算術』に同様な問題がある。
• 日本では、『塵劫記』に布盗人算（きぬぬすびとざん）として登場する。

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると4反あまり、10反ずつ分けると8反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

• 過不足算の解法はいろいろなものが知られていて（ただ本質的な差はほとんどなく、どちらかといえば表現の問題だが）^[要出典]、人によってかなり好みも分かれるようである^[誰?]。
• 一つの解法として以下のものがあげられる。
  • 盗んだ布を8反多いことにしてみる。すると8反ずつ分ける方法では、12反あまり、10反ずつ分ける方法ではちょうど割り切れることになる。
  • これより、2反×人数=12反であることがわかる。
  • したがって、泥棒は6人、また、盗んだ布は8×6+4=10×6-8=52反だったことがわかる。

全体の差÷1人分の差＝人数

(8＋4)÷(10－8)＝6(人)

8×6＋4＝52 (反)

または

10×6－8＝52 (反)

答えは6人、52反である。

泥棒の人数をx人とすると、x人に8反ずつ分けたが、4反余ったといえる。もう一方は(x-1)人に10反ずつ分けたが、1人だけ2反になってしまったといえる。よって布の数を表す式は、8x+4=10(x-1)+2・1になる。これを解くとx=6、すなわち泥棒は6人となる。布の数は8・6+4=52反となる。