配位空間

配位空間とは、一般化座標系の表す多次元空間である。古典力学、特に多体問題において、粒子系の座標を表す^[1]。n個の粒子系では各粒子に対して3個の座標が必要であるから、全体では3n次元空間となる^[2]。これと3n次元運動量空間とを組み合わせ、2倍の次元を持つ6n次元位相空間が得られる^[3]。これは系の状態を表す際にも使用される^[4]。

配位空間 Q 上の各々の点は力学系の状態に対応し、系の運動は Q 上の可微分曲線 $${\displaystyle \phi :I\to Q:t\mapsto x=\phi (t)}$$ により表される。 系の運動を集めた集合を $${\displaystyle C(I;Q)=\{\phi :I\to Q\}}$$ とする。 系の運動 φ に対して定まる接ベクトル $${\displaystyle v=\left.{\frac {d\phi ^{i}}{dt}}\,{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{t=t_{0},x=\phi (t_{0})}\equiv {\dot {\phi }}(t_{0})}$$ は一般化速度と呼ばれる。

配位空間 Q の接束 TQ 上の関数 $${\displaystyle L:TQ\to \mathbb {R}$$ :(x,v)\mapsto L(x,v)} はラグランジュ関数と呼ばれ、ラグランジュ形式での作用汎関数が $${\displaystyle S:C(I:Q)\to \mathbb {R}$$ :\phi \mapsto S[\phi ]=\int _{I}L(\phi (t),{\dot {\phi }}(t))\,dt} で与えられる。