重根 (多項式)

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1 変数多項式 ${\displaystyle f(x)}$ が、定数 ${\displaystyle a(\neq 0)}$, ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$を用いて

${\displaystyle f(x)=a(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$

の形に因数分解され、${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$ の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を ${\displaystyle f(x)}$ の重根という。

方程式 ${\displaystyle f(x)=0}$ の解は一般に

${\displaystyle {\begin{cases}y=f(x)\\y=0\end{cases}}}$

つまり xy-座標系において ${\displaystyle y=f(x)}$ と x 軸との交点の x 座標である。${\displaystyle f(x)}$ が1変数多項式のとき、${\displaystyle y=f(x)}$ が ${\displaystyle x=\alpha }$ で x 軸に接するなら、${\displaystyle \alpha }$は ${\displaystyle f(x)}$ の重根となる。

したがって ${\displaystyle f(x)}$ は ${\displaystyle x=\alpha }$ における微分も 0 となり、 ${\displaystyle x=\alpha }$ が ${\displaystyle f(x)}$ の重根であることと

${\displaystyle f(\alpha )=f'(\alpha )=0}$

であることは同値である。

体 K 上の多項式 ${\displaystyle f(x)}$ と K の元 ${\displaystyle \alpha }$に対し、${\displaystyle (x-\alpha )^{2}\mid f(x)}$ が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 ${\displaystyle k}$ と多項式 ${\displaystyle g(x)}$ で

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha )^{k}g(x)}$

を満たすものが存在するとき、${\displaystyle \alpha }$ を ${\displaystyle f(x)}$ の重根という。特に ${\displaystyle g(x)}$ が ${\displaystyle \alpha }$ を根に持たないならば、${\displaystyle k}$ を根 ${\displaystyle \alpha }$ の重複度（ちょうふくど、multiplicity）という。

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多項式 ${\displaystyle f(x)}$ の根を ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, …, ${\displaystyle \alpha _{n}}$ とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

${\displaystyle D_{f}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

を多項式 ${\displaystyle f(x)}$ あるいは方程式 ${\displaystyle f(x)=0}$ の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が ${\displaystyle 0}$ であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

1. 差積の平方が根に関する対称式となること
2. 対称式が基本対称式で表すことができること
3. 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること（根と係数の関係）

によって保証される。

たとえば、二次方程式 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$（${\displaystyle a\neq 0}$） の根を ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ とすると、根と係数の関係により

${\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}$

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

${\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta =\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\times {\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}$

となる。${\displaystyle a\neq 0}$より${\displaystyle a^{2}>0}$ であるので、実用上は分母を掃った ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ を判別式として用いることが多い。

• 零点