長距離補正密度汎関数

長距離補正法では2電子積分${\displaystyle 1/r}$をパラメータ${\displaystyle \mu }$ならびに誤差関数erfと相補誤差関数erfcで以下のように分割する^[1][2]:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1-\operatorname {erf} (\mu r)}{r}}+{\frac {\operatorname {erf} (\mu r)}{r}}={\frac {\operatorname {erfc} (\mu r)}{r}}+{\frac {\operatorname {erf} (\mu r)}{r}}}$

第1項は${\displaystyle r}$の増加にともない急速に0に減衰する短距離成分で、LDAまたはGGA交換汎関数により計算される。第2項は長距離成分で、ハートリーフォック交換積分により計算される。より一般的には以下の形で表される^[1][3]:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1-(\alpha +\beta \operatorname {erf} (\mu r))}{r}}+{\frac {\alpha +\beta \operatorname {erf} (\mu r)}{r}}}$

${\displaystyle \alpha =0,\beta =1}$ は最初の式を与え、また ${\displaystyle \alpha \neq 0,\beta =0}$ で通常の（global hybridとも呼ばれる）混成汎関数となる。