閉作用素

数学の、特に関数解析学の分野における閉作用素（へいさようそ、英語: closed operator）は、バナッハ空間上の線形作用素のある重要な類である。有界作用素よりも一般的であるため、必ずしも連続ではないが、スペクトルや（いくつかの仮定の下で）作用素の関数を定義出来るという十分に良い性質を備えている。導関数や微分作用素の広い類など、多くの重要な線形作用素で有界でないようなものが、閉作用素であるということが分かっている。

${\displaystyle X,Y}$ を二つのバナッハ空間とする。線形作用素

${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset X\to Y}$

が閉であるとは、${\displaystyle x\in X}$ に収束するような ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ 内の任意の列 ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ で ${\displaystyle Ax_{n}\to y\in Y}$ （ ${\displaystyle n\to \infty }$ ）であるようなものに対して、${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ および ${\displaystyle Ax=y}$ が成立することを言う。あるいは、${\displaystyle A}$ が閉であるとは、そのグラフが直和 ${\displaystyle X\oplus Y}$ において閉であることを言う。

必ずしも閉でない、与えられたある線形作用素 ${\displaystyle A}$ に対し、もしその ${\displaystyle X\oplus Y}$ 内のグラフの閉包がある作用素のグラフとなるのであれば、そのような作用素は ${\displaystyle A}$ の閉包と呼ばれ、${\displaystyle A}$ は可閉（closable）と呼ばれる。${\displaystyle A}$ の閉包は ${\displaystyle {\overline {A}}}$ と表記される。作用素 ${\displaystyle A}$ が閉包 ${\displaystyle {\overline {A}}}$ の ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ への制限であることは、すぐに分かる。

可閉作用素 ${\displaystyle A}$ の核（core）とは、${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ の部分集合 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ で、${\displaystyle A}$ の ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ への制限の閉包が ${\displaystyle {\overline {A}}}$ であるようなもののことを言う。