閉測地線

リーマン多様体 (M,g) において閉測地線は、計量 g についての測地線であり、周期的であるような曲線 ${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \rightarrow M} である。

閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。${\displaystyle \Lambda M}$ を M 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 ${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$ の臨界点である。

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

${\displaystyle \gamma }$ が周期 p の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ は周期 1 の閉測地線であり、したがって E の臨界点である。${\displaystyle \gamma }$ が E の臨界点であるなら、各 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ に対して ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$ で定義される曲線 ${\displaystyle \gamma ^{m}}$ も E の臨界点である。したがって、M 上のすべての閉測地線はエネルギー E の臨界点からなる無限列を生成する。