階差数列

数列 ${\displaystyle (a_{n})}$ に対して

${\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$

で定まる数列 ${\displaystyle (\Delta a_{n})}$ を、${\displaystyle (a_{n})}$ の第1階差数列または単に階差数列という。ここで ${\displaystyle \Delta }$ は前進差分作用素である。さらに帰納的に

${\displaystyle \Delta ^{m}a_{n}=\Delta (\Delta ^{m-1}a_{n})}$

によって第 ${\displaystyle m}$ 階差数列を定義する。^[3][4]

たとえば

${\displaystyle a_{n}=n^{2}}$

とすると、

${\displaystyle \Delta a_{n}=(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$

であり、さらに

${\displaystyle \Delta ^{2}a_{n}=\Delta (2n+1)=2}$

となる。したがって平方数の列は第2階差が一定である。^[5]

差分作用素 ${\displaystyle \Delta }$ は線型であり、任意の数列 ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$ と定数 ${\displaystyle c}$ に対して

${\displaystyle \Delta (a_{n}+b_{n})=\Delta a_{n}+\Delta b_{n}}$

${\displaystyle \Delta (ca_{n})=c\Delta a_{n}}$

が成り立つ。^[9][10]

また、階差数列を ${\displaystyle b_{n}=\Delta a_{n}}$ とすると、もとの数列は

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}\quad (n\geq 2)}$

によって復元できる。これは離散的な意味での積分に対応し、しばしば不定和分あるいは差分の逆操作とみなされる。^[11]

数列 ${\displaystyle a_{n}}$ が ${\displaystyle n}$ の次数 ${\displaystyle m}$ の多項式で与えられるとき、${\displaystyle \Delta a_{n}}$ は次数 ${\displaystyle m-1}$ の多項式となる。したがって ${\displaystyle m}$ 階差は定数列となり、それより高い階差は零列となる。これは階差法の基本的事実であり、与えられた数列が多項式的な規則に従うかどうかを判定する手がかりになる。^[12][13]

より具体的には、${\displaystyle P(n)}$ を次数 ${\displaystyle m}$、最高次係数を ${\displaystyle a}$ とする多項式とすると、刻み幅 1 の前進差分について

${\displaystyle \Delta ^{m}P(n)=a\,m!}$

が成り立つ。^[14]

もとの数列と、その第1階差、第2階差、……を並べた表を階差表という。階差表を用いると、数列の規則性や高階階差の振る舞いを視覚的に確認しやすい。とくに、多項式で与えられる数列では、ある段階で階差が一定になる。^[15]

たとえば

さらに見る , ...

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{n}=n^{2}}$	第1階差	第2階差
1	1	3	2
2	4	5	2
3	9	7
4	16

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のようになり、第2階差が一定であることが分かる。

ある数列 ${\displaystyle (b_{n})}$ に対し、

${\displaystyle \Delta s_{n}=b_{n}}$

を満たす数列 ${\displaystyle (s_{n})}$ を、${\displaystyle (b_{n})}$ の不定和分とみなすことがある。これは微分に対する不定積分の離散版に相当する。階差数列を知ることで、初項を与えれば元の数列を一意に定めることができる。^[16]

有限差分は数値解析で広く用いられ、関数値の表から差分を作ることでニュートン補間公式などの補間公式を構成できる。等間隔に並んだデータに対する前進差分表・後退差分表は、その代表的な道具である。^[17][18]

また、有限差分は導関数の離散的近似としても解釈され、常微分方程式や偏微分方程式の数値解法における基本手法の一つとなっている。^[19][20]