順序環

順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$、有理数全体の成す集合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$、実数全体の成す集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)^[2]。それに対し複素数全体の成す集合 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ はいかなる順序のもとでも順序環にはならない（虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため）。

実数の集合における概念のアナロジーとして、0 < c である元 c は正、c < 0 である元 c を負の元と呼ぶ。0 は正でも負でもないとする。

順序環 R の正元全体の成す集合をしばしば R₊ と表記する。

順序環 R の任意の元 a に対し、以下のように絶対値 |a| を定めることができる。

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

ここで −a は a の加法逆元である。

0 と 1 との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 Z などがその例であり、有理数全体の集合 Q や実数全体の集合 R はそうではない。