Abc-Vermutung

Vorliegende Resultate für abc-Tripel

Ein Tripel von Zahlen ${\displaystyle (a,b,c)}$ heißt abc-Tripel, wenn ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und ${\displaystyle c}$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind und ${\displaystyle c=a+b}$ ist.^{[H 4]}

Gilt für ein abc-Tripel die Ungleichung

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)\leq c}$,

so wird es als abc-Treffer bezeichnet. Beispiele sind (1, 8, 9), (5, 27, 32), (32, 49, 81) und das von Éric Reyssat gefundene Tripel ${\displaystyle (2,\,3^{10}\!\cdot \!109,\,23^{5})=(2,\,6436341,\,6436343)}$ mit ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=2\!\cdot \!3\!\cdot \!23\!\cdot \!109=15042}$, für das der Quotient ${\displaystyle \log c/\!\log \operatorname {rad} (abc)=1{,}62991\ldots }$ besonders groß ist. abc-Treffer sind selten. Unter den 15,2 Millionen abc-Tripeln mit ${\displaystyle c<10.000}$ gibt es nur 120 abc-Treffer und unter den 380 Millionen abc-Tripeln mit ${\displaystyle c<50.000}$ gibt es 276. Sander Dahmen bewies 2006 eine untere Abschätzung für die Anzahl der abc-Treffer bis zu einer gegebenen Schranke und bestätigte damit, dass unendlich viele existieren,^[7] allerdings sagt seine Formel lediglich etwa eine Million abc-Treffer unterhalb ${\displaystyle 10^{83}}$ vorher (und unterschätzt deren Anzahl damit erheblich).

Das weltweite Projekt ABC@Home (begonnen 2007) erstellte durch verteiltes Rechnen eine vollständige Liste aller abc-Treffer für ${\displaystyle c<2^{63}\approx 9{,}22\cdot 10^{18}}$. Es fand 23.827.716 abc-Treffer. Die erste Etappe mit ${\displaystyle c<10^{18}}$ wurde im November 2011 mit 14.482.065 Tripeln abgeschlossen, in den Jahren 2012 bis 2015 wurden 9.345.651 weitere abc-Treffer mit ${\displaystyle 10^{18}\leq c<2^{63}\approx 9{,}22\cdot 10^{18}}$ gefunden.^[8] Das Projekt wurde durch die Programmierung eines Algorithmus möglich, der den Aufwand zur Ermittlung aller abc-Treffer mit ${\displaystyle c\leq N}$ vom offensichtlichen proportional zu ${\displaystyle N^{2}}$ auf nahezu proportional zu ${\displaystyle N^{2\;\!\!/3}}$ Rechenschritte reduzierte.^[9]

Masser bewies, dass das Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {rad} (abc)}{c}}}$ beliebig klein werden kann, obwohl es meist größer als 1 ist.^{[H 5]} Er formulierte allerdings mit Oesterlé eine erweiterte abc-Vermutung, dass ${\displaystyle {\tfrac {(\operatorname {rad} (abc))^{s}}{c}}}$ für jedes ${\displaystyle s>1}$ eine positive untere Schranke besitzt, sei ${\displaystyle s}$ auch nur ein beliebig kleines ${\displaystyle \varepsilon }$ größer als ${\displaystyle 1}$.

Formel für explizit bestimmbare abc-Treffer mit b = 3^42m+27

Für Zahlen der Form ${\displaystyle b=3^{42m+27}}$ gibt es ${\displaystyle n}$ Zahlen ${\displaystyle a_{k}=2^{21k+18}}$ mit ${\displaystyle \,0\leq k<n}$, die mit ${\displaystyle b}$ einen abc-Treffer ${\displaystyle (a_{k},\;\!b,\;\!a_{k}+b)}$ bilden.^[10] Damit alle ${\displaystyle a_{0}\ldots a_{n-1}<b}$ sind, wählt man

${\displaystyle m>{\frac {\ln 2}{2\,\ln 3}}(n-1)+{\frac {3\,\ln 2}{7\,\ln 3}}-{\frac {9}{14}}={\frac {\ln 2}{2\,\ln 3}}n-{\frac {1}{14}}{\Big (}9+{\frac {\ln 2}{\ln 3}}{\Big )}\approx 0{,}315465\,n-0{,}656994}$,

so dass ${\displaystyle b>2^{21(n-1)+18}}$ sichergestellt ist. Für ${\displaystyle n=316}$ ergibt dies z. B. ${\displaystyle m\geq 99}$ (${\displaystyle a_{315}=5{,}3\ldots \cdot 10^{1996},\ b=5{,}6\ldots \cdot 10^{1996}}$).

Weitere Informationen , ... ...

m	n	${\displaystyle a_{0}=2^{18}}$ ... ${\displaystyle a_{n-1}=2^{21(n-1)+18}}$	${\displaystyle b=3^{42m+27}}$
0	2	262.144 549.755.813.888	7.625.597.484.987
1	5	... 1.152.921.504.606.846.976 2.417.851.639.229.258.349.412.352 5.070.602.400.912.917.605.986.812.821.504	834.385.168.331.080.533.771.857.328.695.283
2	8	..., ≈ 1,06 · 1037, ≈ 2,23 · 1043, ≈ 4,68 · 1049	≈ 9,14 · 1052
3	11	..., ≈ 9,81 · 1055, ≈ 2,06 · 1062, ≈ 4,31 · 1068	≈ 9,99 · 1072

Schließen

Die Eigenschaft der Tripel, abc-Treffer zu sein, kann folgendermaßen gezeigt werden. Zunächst ist

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{k}b)=6}$, also ${\displaystyle \,\operatorname {rad} (a_{k}b\;\!c)=6\,\operatorname {rad} (c)}$.

Berechnet man die Kongruenzen ${\displaystyle c_{k}=a_{k}+b\ \equiv \ 2^{21k+18}+3^{42m+27}\operatorname {modulo} 49}$, so erhält man

${\displaystyle (2^{21})^{k}\cdot 2^{18}+(3^{42})^{m}\cdot 3^{27}\ \equiv \ 1^{k}\cdot 43+1^{m}\cdot 6\ \equiv \ 0{\pmod {49}}}$.

Somit ist ${\displaystyle \,\operatorname {rad} (c_{k})\leq c_{k}/7}$ und ${\displaystyle \,c_{k}>\operatorname {rad} (a_{k}b\;\!c_{k})}$.

Weitere Bewertungen eines abc-Treffers

Bereits 1986 zeigten Cameron L. Stewart und Robert Tijdeman, dass die „Qualitäts“-Bewertung der abc-Treffer (mit den Bezeichnungen ${\displaystyle c=c(a,b,c)}$ und ${\displaystyle r=\mathrm {rad} (abc)}$, ${\displaystyle a<b<c}$)

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log \,c}{\log \,r}}}$

für wachsendes ${\displaystyle r}$ nicht zu schnell gegen 1 konvergieren kann und damit erneut, dass es kein ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ für ${\displaystyle \varepsilon =0}$ gibt. Sie bewiesen die Existenz von unendlich vielen abc-Tripeln mit

${\displaystyle \log \,c-\log \,r>h_{1}\,{\frac {\sqrt {\log \,r}}{\log \,\log \,r}}\,}$ für jedes ${\displaystyle h_{1}<4}$.

Im Jahre 2000 verschärfte Machiel van Frankenhuysen diese Aussage mit ${\displaystyle h_{1}=6{,}07\dots }$^[11] Das legt nahe zu untersuchen, ob ein gegebenes Tripel mit der Bewertung

${\displaystyle q_{1}(a,b,c)=(\log \,c-\log \,r)\,{\frac {\log \,\log \,r}{\sqrt {\log \,r}}}}$

die Schranke ${\displaystyle h_{1}}$ übersteigt oder nicht, und die Verteilung der gefundenen extremalen Beispiele zu analysieren. Folgende theoretische (heuristische) Überlegungen lassen vermuten, dass diese Bewertung auf der Menge der abc-Treffer unbeschränkt groß werden kann.^[12]

Aus bewiesenen Ergebnissen über die Verteilung der natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$ unterhalb einer gegebenen Schranke und aus (begründeten und vielfach bestätigten, aber unbewiesenen) Annahmen über die Zufälligkeit der Primfaktorzerlegung in unstrukturierten Mengen natürlicher Zahlen konnte van Frankenhuysen die strengere untere Abschätzung mit kleinerem Nenner

${\displaystyle \log \,c-\log \,r>h_{2}\,{\sqrt {\frac {\log \,r}{\log \,\log \,r}}}\,\,\,}$ gilt unendlich oft

herleiten. Je nach Ansatz kann man ein ${\displaystyle h_{2}<4}$ bzw. ein ${\displaystyle h_{2}<4\,{\sqrt {3}}}$ wählen, das konnte nicht geklärt werden. Die zweite Variante wurde ebenfalls von C. L. Stewart und G. Tenenbaum gefunden (2007, vgl.^[13]) und mit Olivier Robert 2014 verschärft.^[14] Eine einfache Umformung lässt daraus die elegante Bewertung „merit“

${\displaystyle q_{2}(a,b,c)=(q\,-\,1)^{2}\,\log \,r\,\log \,\log \,r}$

als quadriertes Analogon zu ${\displaystyle q_{1}}$ mit der angestrebten Testgröße ${\displaystyle h_{2}^{2}}$ ansetzen.

Das derzeitige Weltrekord-Tripel bezüglich beider Bewertungen mit ${\displaystyle q_{1}=12{,}94882\,(>2\,h_{1}!)\,}$ und ${\displaystyle q_{2}=38{,}66573\,}$ wurde am 28. Oktober 2011 von Ralf Bonse entdeckt^[15] und lautet

${\displaystyle a=2543^{4}\cdot 182587\cdot 2802983\cdot 85813163}$, (${\displaystyle a}$ ist offensichtlich nicht multiplikativ hochpotent)

${\displaystyle b=2^{15}\cdot 3^{77}\cdot 11\cdot 173}$,

${\displaystyle c=5^{56}\cdot 245983}$.

Von besonderem Interesse sind solche abc-Tripel, die den Abfall der Qualität mit wachsendem Betrag von ${\displaystyle c}$ nach unten beschränken. Ein abc-Tripel heißt (englisch) „unbeaten“ (dt. sinngemäß „unübertroffen“), wenn jedes bekannte abc-Tripel mit größerem ${\displaystyle c}$ eine kleinere Qualität aufweist.^[8]

Folgerungen aus der abc-Vermutung

Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Viele gelöste und ungelöste diophantische Probleme lassen sich aus dieser Vermutung folgern. Insbesondere der sehr komplexe Beweis des Großen Fermatschen Satzes würde sich etwa auf eine Seite reduzieren.^{[H 6][H 7]}

Zu den Sätzen bzw. Vermutungen, die sich neben dem Großen Fermatschen Satz aus einem Beweis der abc-Vermutung ergeben würden, zählen nicht zuletzt:

• Satz von Thue-Siegel-Roth, wie Machiel van Frankenhuysen 1999 zeigte.
• Vermutung von Mordell^{[H 8][H 9][16]}
• Erdős-Woods-Vermutung (M. Langevin 1993)
• Catalansche Vermutung
• Fermat-Catalan-Vermutung
• die Existenz von unendlich vielen Nicht-Wieferich-Primzahlen. Allgemeiner zeigte Joseph Silverman 1988, dass aus der abc-Vermutung folgt, dass es für ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} ^{\times }}$, ${\displaystyle a\neq \pm 1}$, unendlich viele Primzahlen ${\displaystyle p}$ gibt, für die ${\displaystyle a^{p-1}-1}$ nicht durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist.
• die schwache Form der Hall-Vermutung, die eine asymptotische untere Schranke für den Betrag der Differenz von Kubikzahlen und Quadratzahlen liefert.
• die Vermutung von Lucien Szpiro (eine Ungleichung zwischen Führer und Diskriminante elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen). Diese Vermutung ist sogar äquivalent zur abc-Vermutung.^[17] Genauer handelt es sich um die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung (siehe unten).
• die Pillai-Vermutung von S. S. Pillai.
• eine effektive Form von Siegels Theorem über ganzzahlige Punkte auf algebraischen Kurven.^[18]

Vermutung von Szpiro

Die Vermutung von Szpiro ist in der Theorie elliptischer Kurven angesiedelt und folgt aus der abc-Vermutung, wie Oesterlé und Nitaj zeigten. Sie lautet:

Für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C(\epsilon )>0}$ so dass für jede elliptische Kurve mit minimaler Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$ und Führer ${\displaystyle N}$ gilt:

${\displaystyle |\Delta |<C(\epsilon )N^{6+\epsilon }}$

Die verallgemeinerte Szpiro-Vermutung,^[19] die äquivalent zur abc-Vermutung ist, lautet:

Für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ und ${\displaystyle M>0}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C(\epsilon ,M)>0}$, so dass für alle ganze Zahlen ${\displaystyle x,y}$, für die ${\displaystyle D=4x^{3}-27y^{2}\neq 0}$ und der größte Primfaktor von ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ kleiner gleich ${\displaystyle M}$ ist, gilt:

${\displaystyle \mathrm {max} (|x^{3}|,y^{2},|D|)<C(\epsilon ,M){\operatorname {rad} (D)}^{6+\epsilon }}$

Explizite abc-Vermutung von Baker

Im Jahre 1996 schlug Alan Baker eine Verschärfung der Vermutung vor und präzisierte sie 2004.^[20] Während ${\displaystyle r=\operatorname {rad} (abc)}$ die Gesamtgröße der multiplikativen Bausteine der am Tripel beteiligten Zahlen kennzeichnet, ist die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren ${\displaystyle \omega =\mathrm {\omega } (abc)}$ ein Maß für ihre Detailliertheit. Baker vereinigte beide Maße und gelangte zu einer abc-Vermutung mit einer absoluten, von ${\displaystyle \varepsilon }$ unabhängigen, Konstanten ${\displaystyle c_{0}}$

${\displaystyle c<c_{0}\,(\varepsilon ^{-\omega }r)^{1+\varepsilon }}$.

Wenn man darin berücksichtigt, dass die rechte Seite ein Minimum etwa bei ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {\omega }{\log \,r}}}$ besitzt, und nach der Ersetzung ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ im Nenner nach unten durch ${\displaystyle \omega$ !} abschätzt, erhält man eine von ${\displaystyle \varepsilon }$ freie Version

${\displaystyle c<c_{1}\,r\,{\frac {(\log \,r)^{\omega }}{\omega$ !}}} , ${\displaystyle \,\,c_{1}}$ eine absolute Konstante.

Andrew Granville bemerkte, dass der letzte Faktor nahezu äquivalent zu Θ(r) ist, der Anzahl der natürlichen Zahlen bis r, die nur durch Primfaktoren von r teilbar sind. Damit ergibt sich seine Vermutung zu

${\displaystyle c<c_{2}\,r\,\Theta (r)}$, ${\displaystyle \,\,c_{2}}$ eine absolute Konstante.

Eine Untersuchung an den damals 196 bekannten extremalen abc-Tripeln zeigte, dass möglicherweise ${\displaystyle c_{1}={\tfrac {6}{5}}}$ und ${\displaystyle c_{2}=24}$ gewählt werden kann.

So wird heutzutage Bakers explizite abc-Vermutung auch folgendermaßen zitiert:^[21]

Ist ${\displaystyle (a,\,b,\,c)}$ ein Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen mit ${\displaystyle \,a+b=c}$ und ist dabei ${\displaystyle \omega =\omega (abc)}$ die Anzahl der Primfaktoren von deren Produkt sowie ${\displaystyle r=\operatorname {rad} (abc)}$ das zugehörige Radikal, so ist stets die Ungleichung

${\displaystyle c<{\frac {6}{5}}\cdot r\cdot {\frac {\ln(r)^{\omega }}{{\omega }!}}}$

erfüllt.

Abschwächungen

Es gibt auch schwächere Formen der abc-Vermutung, die man zu beweisen versucht. Wird in der ursprünglichen Formulierung der abc-Vermutung ${\displaystyle K_{\epsilon }}$ und ${\displaystyle \epsilon }$ gleich 1 gesetzt, hat man eine Variante der schwachen abc-Vermutung (mit denselben Voraussetzungen an die abc-Tripel wie oben):

${\displaystyle c\leq {(\operatorname {rad} (abc))}^{2}}$

Aus dieser Variante folgt sofort (durch eine ähnliche Argumentation wie oben) die Gültigkeit der Fermat-Vermutung für Potenzen größer als fünf.^[22] Allgemeiner wird die schwache abc-Vermutung häufig über eine etwas andere Formulierung der abc-Vermutung eingeführt.

Sei ${\displaystyle q={\tfrac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$ die Qualität (auch Potenz, abc-ratio) eines (${\displaystyle a,b,c}$)-Tripels, also die Lösung von ${\displaystyle r^{q}=c}$ mit ${\displaystyle r=\operatorname {rad} (abc)}$ und damit ein Maß des Überschusses von c über den gemeinsamen „Primzahlinhalt“ r des Tripels. Umfangreiche numerische Suche, zum Beispiel in dem ABC@Home-Projekt, hat bisher einen maximalen Wert von etwa ${\displaystyle 1{,}63}$ für q ergeben (gefunden von Eric Reyssat, s. o.). Insgesamt konnten in 34 Jahren lediglich 241 abc-Tripel mit einer Qualität ${\displaystyle >\!1{,}4}$ entdeckt werden.^[23] Die eigentliche abc-Vermutung, auch starke abc-Vermutung genannt, besagt dann, dass die Ungleichung ${\displaystyle q>d}$ für ein beliebiges ${\displaystyle \,d>1}$ nur endlich viele Lösungen hat.

Der Wert ${\displaystyle 1}$ ist dabei die bestmögliche untere Grenze für ${\displaystyle d}$. Setzt man ${\displaystyle d=1}$, gibt es unendlich viele Lösungen. Aber schon ein beliebig kleiner Wert über 1 bewirkt nach der starken abc-Vermutung, dass die Anzahl der Lösungen endlich ist.

Die schwache abc-Vermutung besagt, dass ${\displaystyle q}$ eine obere Schranke hat.^[24] In dem oben angegebenen Spezialfall war die obere Schranke 2 vermutet worden. Aus der starken abc-Vermutung folgt die Gültigkeit der schwachen abc-Vermutung, aber nicht umgekehrt.

In symmetrischer Form lässt sich die Vermutung auch als Aussage des Verhältnisses der Höhe ${\displaystyle H(a,b,c)=\max(|a|,|b|,|c|)}$, die die Größe der beteiligten Zahlen misst, zum Radikal ${\displaystyle \operatorname {rad} (a,b,c)}$ ausdrücken, das den Primzahlinhalt misst. Dann besagt die starke abc-Vermutung, dass ${\displaystyle a+b=c}$ für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ nur endlich viele teilerfremde Lösungen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ hat mit:^[25]

${\displaystyle \operatorname {rad} (a,b,c)\leq {H(a,b,c)}^{1-\varepsilon }}$

Jeffrey Lagarias und Kannan Soundararajan stellten der abc-Vermutung eine „xyz-Vermutung“ zur Seite für den Fall, dass alle Primfaktoren des Radikals ${\displaystyle \mathrm {rad} (xyz)}$ eines Tripels ${\displaystyle (x,y,z)}$ durch eine kleine Konstante S (Glattheit, Smoothness) beschränkt sind, das heißt ${\displaystyle S=\max \lbrace p:p|x,y,z\rbrace }$. Sie besagt, dass für ${\displaystyle \alpha >3/2}$ nur endlich viele abc-Tripel existieren mit ${\displaystyle \log S/\log \log z\geq \alpha }$.^[26]
B. de Weger ermittelte hierzu in den Ergebnissen des ABC@Home-Projektes dasjenige Tripel mit S = 43 und (vermutlich) größtem z als

${\displaystyle 13^{11}+2\cdot 3^{9}\cdot 5\cdot 23^{6}\cdot 29\cdot 37=7^{4}\cdot 11\cdot 17^{3}\cdot 19^{4}\cdot 43^{2}.}$^[27] (mit der Qualität 1,2676)

Conrey, Holmstrom und McLaughlin fanden darin als Tripel mit maximalem Glattheitsindex ${\displaystyle \log c/\log S}$

${\displaystyle 5^{3}\cdot 23^{3}\cdot 41^{5}+2^{10}\cdot 3^{7}\cdot 7^{6}\cdot 13^{3}\cdot 17^{2}\cdot 19=11^{4}\cdot 31\cdot 37^{4}\cdot 43^{3}\cdot 47.}$^[28] (mit der Qualität 1,1333)

Verallgemeinerung

Die abc-Vermutung lässt sich noch allgemeiner fassen, indem man nicht nur Tripel von ganzen Zahlen, sondern für irgendwelche natürliche Zahlen ${\displaystyle \,k\geq 3}$ die zugehörigen ganzzahligen ${\displaystyle \,k}$-Tupel betrachtet.

Hierzu hat man dann die folgende allgemeine Vermutung:^[29]

Zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle \,k\geq 3}$ und jeder reellen Zahl ${\displaystyle \epsilon >0}$ existiert eine Konstante ${\displaystyle C=C(k,\epsilon )>0}$ mit folgender Eigenschaft:

Ist ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{k})}$ ein beliebiges ${\displaystyle \,k}$-Tupel teilerfremder ganzer Zahlen derart, dass (a) ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}=0}$ und (b) keine Teilsumme davon ${\displaystyle =0}$ ist, so ist stets die Ungleichung

${\displaystyle \operatorname {max} (|a_{1}|,|a_{2}|,|a_{3}|,\ldots ,|a_{k}|)\leq {C\cdot (\operatorname {rad} (a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,\ldots \,a_{k}))^{2k-5+\epsilon }}}$

erfüllt.

Man bezeichnet diese Verallgemeinerung auch als ${\displaystyle \,k}$-abc-Vermutung (englisch ${\displaystyle \,k}$-abc conjecture).

abc-Vermutung für Polynome

Wilson Stothers und Richard Mason bewiesen 1983^[30][31] unabhängig voneinander folgenden, bis dato unbekannten Satz für Polynome:

Seien ${\displaystyle \,f,g,h}$ teilerfremde, nicht-konstante Polynome mit ${\displaystyle \,f=g+h}$. Dann ist

${\displaystyle \max(\operatorname {grad} (f),\operatorname {grad} (g),\operatorname {grad} (h))\leq N_{0}(fgh)-1}$

wobei ${\displaystyle \,N_{0}(f)}$ die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von ${\displaystyle f}$ ist. Das ist gewissermaßen das „Funktionenkörper“-Analogon der abc-Vermutung. Sein Beweis ist relativ einfach^[32] und wie auch im Fall der abc-Vermutung folgt daraus z. B. der Fermatsche Satz für Polynome. Die Übersetzung vom Polynom-Fall in die abc-Vermutung für ganze Zahlen erfolgt dadurch, dass man ${\displaystyle \,N_{0}(f)=\operatorname {Grad} (\operatorname {rad} (f))}$ setzt, wobei ${\displaystyle \,\operatorname {rad} (f)}$ das Produkt der „Primfaktoren“ ${\displaystyle (x-a)}$ von ${\displaystyle f}$ ist, erstreckt sich über alle Wurzeln ${\displaystyle a}$ von ${\displaystyle f}$, und den Grad durch sein Analogon den Logarithmus ersetzt (da ${\displaystyle \operatorname {grad} (f\,g)=\operatorname {grad} (f)+\operatorname {grad} (g)}$ ).

Diese „Modell“-Version der abc-Vermutung war allerdings nicht die unmittelbare Motivation für die Vermutung durch Oesterlé und Masser. Das Motiv für die Vermutung ergab sich auch nicht aus numerischen Rechnungen, sondern vielmehr aus tiefliegenden Untersuchungen über elliptische Kurven in der Zahlentheorie,^[33] die sich teilweise in der verwandten Vermutung von Lucien Szpiro widerspiegeln (s. o.).

Teilergebnisse

Bisher wurden folgende Ungleichungen für c und rad(abc) bewiesen:

1986, C.L. Stewart und R. Tijdeman:

${\displaystyle c<\exp {(C_{1}\,\operatorname {rad} (abc)^{15})},}$

1991, C.L. Stewart und Kunrui Yu:

${\displaystyle c<\exp {(C_{2}\,\operatorname {rad} (abc)^{2/3+\epsilon })},}$

1996, C.L. Stewart und Kunrui Yu:

${\displaystyle c<\exp {(C_{3}\,\operatorname {rad} (abc)^{1/3+\epsilon })},}$

wobei C₁ eine feste Konstante ist und C₂ sowie C₃ positive leicht berechenbare Konstanten in Abhängigkeit von ε.