Wieferich-Primzahl

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)^[2] und 3511 (Beeger 1922).^[3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10¹⁵ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.^[4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,^[5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ etwa ${\displaystyle \log(\log(y)/\log(x))}$ Wieferich-Primzahlen liegen.^[6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.^[7]

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:^[1]

Wenn ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$, wobei ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle z}$ ganze Zahlen sind, ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist und das Produkt ${\displaystyle xyz}$ nicht teilbar durch ${\displaystyle p}$, dann ist ${\displaystyle p}$ eine Wieferich-Primzahl, also ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch ${\displaystyle 3^{p-1}-1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist.^[8] Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind ${\displaystyle p=11}$ und ${\displaystyle p=1006003}$ (Kloss 1965).^[9]

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

• Aus der Wieferich-Primzahl ${\displaystyle w}$ kann die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{n}=M_{w-1}=2^{w-1}-1}$ als Produkt ${\displaystyle M_{w-1}=kw^{2}}$ konstruiert werden.

${\displaystyle n=w-1}$ ist somit (trivialerweise, da ${\displaystyle n}$ geradzahlig) nicht prim, und ${\displaystyle M_{n}}$ keine Mersenne-Primzahl.

• Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}<M_{w-1}}$ (mit primen Exponenten ${\displaystyle p}$) gibt, die durch ${\displaystyle w^{2}}$ teilbar sind. Dabei muss ${\displaystyle p}$ ein Teiler von ${\displaystyle w-1}$ sein, wenn ${\displaystyle M_{p}}$ durch ${\displaystyle w}$ teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da ${\displaystyle w-1}$ nicht prim ist, handelt es sich bei ${\displaystyle 2^{w-1}-1}$ nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl ${\displaystyle 2^{p}-1}$ mit ${\displaystyle p={\frac {w-1}{x}}}$ geben, die durch ${\displaystyle w^{2}}$ teilbar ist; d. h., dass die Länge ${\displaystyle g(w)}$ der multiplikativen zyklischen Subgruppe von ${\displaystyle w}$ zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen ${\displaystyle g(1093)=364=4\cdot 7\cdot 13}$ und ${\displaystyle g(3511)=1755=3^{3}\cdot 5\cdot 13}$ nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen ${\displaystyle 2^{p}-1}$ sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".^[10]

• Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit ${\displaystyle {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=11^{2}}$ die Bedingung ${\displaystyle w^{2}}$ teilt ${\displaystyle 3^{p}-1}$ (mit ${\displaystyle w,p}$ prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt ${\displaystyle w=19}$ bei ${\displaystyle 2819^{3}-1=x\cdot 19^{4}}$ das Wieferich-analog ${\displaystyle w=19}$ sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

• Für eine Wieferich-Primzahl ${\displaystyle p}$ gilt:

${\displaystyle 2^{p^{2}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}.}$

• Mit ${\displaystyle 2^{n}\equiv 1{\pmod {p}}}$ tritt stets gleichzeitig ${\displaystyle 2^{n}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ auf.

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

• Wieferich@Home - search for Wieferich prime. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wieferich Prime. In: MathWorld (englisch).
• Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)