Barnessche G-Funktion

Die Barnessche ${\displaystyle G}$-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}$

mit der Normierung ${\displaystyle G(1)=1.}$ Die Differenzengleichung impliziert, dass ${\displaystyle G}$ die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}n=0,-1,-2,\ldots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!,&{\text{falls }}n=1,2,\ldots \end{cases}}}$

so dass

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (n)}$ die Gammafunktion und ${\displaystyle K(n)}$ die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die ${\displaystyle G}$-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

gestellt wird.^[2]

Die Differenzengleichung der ${\displaystyle G}$-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die ${\displaystyle G}$-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

${\displaystyle G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int \limits _{0}^{z}\pi t\cot \pi t\,\mathrm {d} t.}$

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die ${\displaystyle G}$-Funktion eine Multiplikationsformel:^[3]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

wobei ${\displaystyle K(n)}$ eine Funktion ist, die durch

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

gegeben ist. Hierbei ist ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und ${\displaystyle A}$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Die Funktion ${\displaystyle \log \,G(z+1)}$ hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

${\displaystyle \log G(z+1)={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}+O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle B_{k}}$ die Bernoulli-Zahlen und ${\displaystyle A}$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes^[4] die Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{2k}}$ als ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$ geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für ${\displaystyle z}$ in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

• Eric W. Weisstein: Barnes ${\displaystyle G}$-Function. In: MathWorld (englisch).