K-Funktion

Eine mögliche Definition der ${\displaystyle K}$-Funktion lautet:

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int \limits _{0}^{z-1}\ln(\Gamma (t+1))\;\mathrm {d} t\right],}$

wobei ${\displaystyle {\tbinom {z}{2}}}$ für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right],}$

wobei ${\displaystyle \zeta (z)}$ für die riemannsche Zetafunktion und ${\displaystyle \zeta (a,z)}$ für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der ${\displaystyle K}$-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen ${\displaystyle G}$-Funktion wird durch die Formel

${\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}}$

zum Ausdruck gebracht.

Für natürliche ${\displaystyle n}$ stimmen die Werte ${\displaystyle K(n)}$ der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert ${\displaystyle H(n-1)}$ der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … (Folge A002109 in OEIS).

Der Wert ${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})}$ ist explizit gegeben durch

${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}}$^[1] = 1,2451432494…^[2]

wobei ${\displaystyle A}$ für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Mit der barnesschen G-Funktion ${\displaystyle G(z)}$ gilt

${\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\},}$^[1]

für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} .}$

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

${\displaystyle {\frac {1}{K(n)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}}$.