Chern-Zahl
Charakteristische Zahl bestehend aus Chern-Klassen
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Chern-Zahlen sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle charakteristische Zahlen. Es sind ganzzahlige topologischen Invarianten für komplexe Vektorbündel, welche aus deren Chern-Klassen berechnet werden. Insbesondere gibt es diese auch für komplexe Mannigfaltigkeiten über deren Tangentialbündel. Zu den Chern-Zahlen gehören unter anderem die Seiberg-Witten-Invarianten.
Definition
Sei ein komplexes Vektorbündel über einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit mit einer Fundamentalklasse und eine Partition. Mit der Kronecker-Paarung und dem Cup-Produkt ist die Stiefel-Whitney-Zahl von zu dieser Partition:[1]
![{\displaystyle [M]\in H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83640a6b8cc929d71281683a1c89f527d49bc64)
![{\displaystyle c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[E]:=\langle c_{i_{1}}(E)\smile \ldots \smile c_{i_{r}}(E),[M]\rangle \in \mathbb {Z} .}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46fb4b0fa4a317230346530854973e3a4d83c5b)
Chern-Zahlen werden für gewöhnlich für Tangentialbündel von komplexen Mannigfaltigkeiten verwendet mit der Kurznotation:
- .
![{\displaystyle c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[M]:=c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[TM]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff9932486bdf34d7561093d1cfc4d3f62043a54)
Beispiele
Die Chern-Zahlen des komplexen projektiven Raumes sind gegeben durch:[1]
![{\displaystyle c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[\mathbb {C} P^{n}]={\binom {n+1}{i_{1}}}\ldots {\binom {n+1}{i_{r}}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a223943793b00e4740c5ec3582d41389c15a5b)
Siehe auch
Literatur
- John Milnor und James Stasheff: Characteristic Classes (= Annals of Mathematics Studies. Band 76). Princeton University Press und University of Tokyo Press, Princeton und Tokyo 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]).