Diskussion:Normalverteilung

Dieser Abschnitt ist unglücklich aufgebaut und schlecht lesbar. Zunächst heißt es "Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn [...]". Dann werden vier Bedingungen aufgezählt, unter denen diese Herleitung möglich sei, wobei unklar bleibt, ob diese Bedingungen nun erfüllt sind oder nicht, und unter welchen Voraussetzungen sie erfüllt sind. Dann ist von Annäherungen für ${\displaystyle n\to \infty }$ die Rede, wobei ${\displaystyle n}$ auf beiden Seiten der jeweiligen Gleichungen steht. Was hier stattdessen stehen könnte, ist ein klarer Beweis beruhend auf den Verteilungsfunktionen von Binomialverteilungen und Normalverteilungen.

Wenn der Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace über die asymptotische Normalverteilung einer binomialverteilten Zufallsvariable gemeint ist, dann sollte dies zunächst dort stehen und nicht abgeschriebene Rechnungen. Die angegebene Quelle erfüllt zudem nicht die Qualitätsanforderungen der WP.

Gerade sehe ich, dass im Artikel Satz von Moivre-Laplace mit derselben Quelle dieselbe unglückliche Beweisstruktur steht. Jedenfalls ist die Doppelung der Herleitung überflüssig.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 6. Sep. 2023 (CEST)

Es sieht auch für mich sehr abschreckend aus. Es ist auch nicht beschrieben, was n und p sind. Anschaulich verstehe ich die Voraussetzungen als doppelt formuliert: erst gilt es in der Nähe des Erwartungswertes (dann müsste da stehen "höchstens von der Größenordnung O(sqrt(n))"). Und dann gilt es von den Rändern k und n-k entfernt.

Ich finde, dass normalerweise Beweise nicht in so einen Artikel gehören, zumal so umfangreiche. Aber ich kann die Bedeutung dieser "Herleitungen" nicht einschätzen und kenne mich da sonst auch nicht aus, deshalb traue ich mich nicht ran. --M.J. (Diskussion) 21:43, 7. Sep. 2023 (CEST)

Ich beabsichtige, diese Herleitung zu löschen. Ein Verweis auf Normalapproximation und Satz von Moivre-Laplace ist ausreichend. --Sigma^2 (Diskussion) 23:02, 27. Sep. 2023 (CEST)

Auch die Formulierungen sind unscharf, da sprachlich nicht unterschieden wird zwischen einer Herleitung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung (lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace) und der Herleitung der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung aus der Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung (globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace). --Sigma^2 (Diskussion) 10:37, 1. Okt. 2023 (CEST)

Die Herleitung hat bei Moivre-Laplace doch eine passenden Ort. Ob die Herleitung selbst besser geht, mag dort beurteilt werden. Wenn es zu Verbesserungen darin kommt, ist es auf jeden Fall einfacher, wenn nur diese eine Stelle geändert werden muss. --M.J. (Diskussion) 22:06, 5. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe jetzt den holprigen Beweis, bei dem nicht klar ist, was eigentlich bewiesen werden soll, gelöscht und hierhin kopiert:

Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn die Differenz ${\displaystyle k-np}$ zwischen der Anzahl ${\displaystyle k}$ der Erfolge und dem Erwartungswert ${\displaystyle np}$ von der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {n}})}$ ist und ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle n-k}$ von der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ sind.

Aus der Stirlingformel ${\displaystyle n!=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)}$ ergibt sich dann folgende Näherung für die Binomialverteilung:

${\displaystyle {\begin{aligned}::B(k\mid p,n)&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\::&={\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}(1-p)^{n-k}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::&=n^{n}\left({\frac {p}{k}}\right)^{k}\left({\frac {1-p}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::&=\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::\end{aligned}}}$

Um den Ausdruck ${\displaystyle \left({\tfrac {np}{k}}\right)^{k}\left({\tfrac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}}$ als Potenz von ${\displaystyle e}$ darzustellen, wird der natürliche Logarithmus dieses Ausdrucks approximiert. Definiert man ${\displaystyle d:=k-np}$, dann gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}::\ln \left({\frac {np}{k}}\right)&=\ln \left({\frac {np}{np+d}}\right)=-\ln \left({\frac {np+d}{np}}\right)=-\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)\\::\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)&=\ln \left({\frac {n(1-p)}{n(1-p)-d}}\right)=-\ln \left({\frac {n(1-p)-d}{n(1-p)}}\right)=-\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\::\end{aligned}}}$

Aus der Potenzreihe ${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{3})}$ für den natürlichen Logarithmus folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}::\ln \left(\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\right)&=k\ln \left({\frac {np}{k}}\right)+(n-k)\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)\\::&=k\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)-(n-k)\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\::&=-(np+d)\left({\frac {d}{np}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}p^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)-(n(1-p)-d)\left(-{\frac {d}{n(1-p)}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)\\::&=-d-{\frac {d^{2}}{np}}+{\frac {d^{2}}{2np}}+{\frac {d^{3}}{2n^{2}p^{2}}}-(np+d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)+d-{\frac {d^{2}}{n(1-p)}}+{\frac {d^{2}}{2n(1-p)}}-{\frac {d^{3}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}-(n(1-p)-d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\\::&=-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\\::\end{aligned}}}$

Wendet man die Exponentialfunktion auf diese Gleichung an, dann erhält man

${\displaystyle \left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}=e^{-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\right)}$

Außerdem gilt die Näherung

${\displaystyle {\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}={\sqrt {\frac {n}{2\pi (np+d)(n(1-p)-d)}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)\right)}$

Weil ${\displaystyle d:=k-np}$ von der Größenordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {n}})}$ ist, gilt ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}$. Daraus folgt, dass die Binomialverteilung folgendermaßen dargestellt werden kann:

${\displaystyle B(k\mid p,n)={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)\right)}$

Dieser Wert nähert sich für große ${\displaystyle n}$ der Normalverteilung mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu =np}$ und der Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}=npq}$ an.^[1]

1. [1]

   Santa Cruz Institute for Particle Physics: The Normal Approximation to the Binomial Distribution

--Sigma^2 (Diskussion) 01:09, 7. Okt. 2023 (CEST)

Das Wort Streuintervall kommt in der gesamten Wikipedia in genau in einem Artikel - nämlich diesem - (allerdings ohne Beleg) vor. Ich vermute, es ist eine Ad-Hoc-Worterfindung eines Wikipediaautors, also unzulässige WP:TF.

Mit Literatur belegbare Begriffe aus der Statistik sind: Zufallstreubereich, Schwankungsintervall, Prognoseintervall (diese drei meist mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit, Progoseintervall meist mit speziellerer Bedeutung), k-Sigma-Bereiche oder k-Sigma-Intervalle für Intervalle der Form ${\displaystyle [\mu -k\sigma ,\mu +k\sigma ]}$ (meist mit ganzzahligem ${\displaystyle k}$).

Streubereich wird in der deskriptiven Statistik für das Intervall ${\displaystyle [x_{min},x_{max}]}$ verwendet, wobei ${\displaystyle x_{min}}$ und ${\displaystyle x_{max}}$ der kleinste und größte von ${\displaystyle n}$ Beobachtungswerten ${\displaystyle x_{1},\dots x_{n}}$ sind.

Wenn keine Belege geliefert werden – vielleicht ist es ja ein Begriff aus der Schuldidaktik, dort wurde schon so mancher Begriff kreiert – beabsichtige ich die Löschung bzw. Ersetzung durch einen anderen Begriff.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 15. Okt. 2023 (CEST)

Geht auch einfach nur "Intervall" oder "Bereich"? Konfidenzintervall trifft es wohl nicht?--M.J. (Diskussion) 15:17, 15. Okt. 2023 (CEST)

Eventuell kannst du auch https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung#Streuregionen_der_mehrdimensionalen_Normalverteilung auf Korrektheit bei der Benutzung der Begriffe überprüfen biggerj1 (Diskussion) 16:48, 15. Okt. 2023 (CEST)

Streuregion und Streukreisradius könnten Erfindungen desselben Autors sein. --Sigma^2 (Diskussion) 17:28, 15. Okt. 2023 (CEST)

Richtig, Konfidenzintervall trifft es überhaupt nicht. Ein Konfidenzintervall hat zufällige Intervallenden. Intervall ist ok. Es geht einfach nur um die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls. --Sigma^2 (Diskussion) 17:24, 15. Okt. 2023 (CEST)

• Gemischte Verwendung von Dezimalpunkt und Dezimalkomma, teils in derselben Spalte.
• In der ersten Spalte ist ${\displaystyle \sigma }$ durchgängig redundant.
• Die Erklärung der zweiten und dritten Spalte ist unglücklich.
• In der vierten Spalte ist ppb nicht erklärt.

--Sigma^2 (Diskussion) 12:49, 15. Okt. 2023 (CEST)

• Es sollte das Komma verwendet werden, ich sehe aber gerade keinen Fehler. Die Leerzeichen der Nachkommerstellen sind nicht nach der Konvention, glaube ich.
• Das ${\displaystyle \sigma }$ kann weg. Vielleicht sollte mit ${\displaystyle \sigma }$ verständlicher sein?
• Eine glücklichere Beschreibung findet sich vielleicht auf dieser Diskussionsseite einen Abschnitt weiter oben.
• Die ppb-Spalte kann eigentlich auch weg, ppb wird nur einmal bei "6-sigma" verwendet, das ich weiter nach hinten verschoben habe. Dort wird aber auch ppm verwendet, was etwas irritiert. Eigentlich ist eine Spalte für die Multiplikation mit 10⁹ übertrieben. Das finde ich übrigens auch für die letzte Spalte, wo der Kehrwert angegeben wird.

--M.J. (Diskussion) 15:24, 15. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe die Punkte im Abschnitt "Standardabweichung" überarbeitet und dabei in die Tabellenüberschrift "Anteil der Dichtefunktion..." geschrieben, was mir bei nochmaligem Lesen auch als unglückliche Formulierung vorkommt. Gibt es da einen passenderen Vorschlag? Dann könnten auch die Bildunterschriften angepasst werden, wo jetzt noch das "Streuintervall" erwähnt wird.--M.J. (Diskussion) 22:05, 17. Okt. 2023 (CEST)

• "Anteile der Dichtefunktion" ist nicht gut. Wenn, dann sind es Flächenanteile und die sind Wahrscheinlichkeiten
• Die Fehlerfunktion wird eigentlich nur noch in der numerischen Mathematik und Physik verwendet. In der Statistik spielt Sie überhaupt keine Rolle. Deswegen sollte sie in den laufenden Text aber nicht in den Tabellenkopf.
• Mein Vorschlag:
  • Tabellenbezeichnung: Wahrscheinlichkeiten für eine Zufallsvariable ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
  • Kopf zweite Spalte: ${\displaystyle P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])}$
  • Kopf dritte Spalte: ${\displaystyle 1-P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])}$

--Sigma^2 (Diskussion) 22:21, 17. Okt. 2023 (CEST)

Bisher wird Schreibweise P() nicht im Artikel verwendet, wenn es geht, würde ich es nicht für die Tabelle einführen. Wie wäre es mit

• Kopf zweite Spalte: Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]}$
• Kopf dritte Spalte: Wahrscheinlichkeit für ${\displaystyle X\notin [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]}$

P.S.: die Schreibweise "${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$" wird im Artikel auch nicht eingeführt. --M.J. (Diskussion) 18:13, 18. Okt. 2023 (CEST)

Doch, erste Zeile der Definition. --Sigma^2 (Diskussion) 00:37, 19. Okt. 2023 (CEST)

Weiter unten im Artikel wird die Schreibweise P(...) auch verwendet.

Ich bin gegen umgangssprachliche Formulierungen, die sich in der Nähe des Fachsprache befinden. Fachsprachlich heißt es Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und nicht Wahrscheinlichkeit für .... Ein Ereignis ist eine Menge, hier die Menge ${\displaystyle \{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}}$ als eine abgekürzte Schreibweise von ausführlicher ${\displaystyle \{\omega \mid X(\omega )\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}}$, denn eine Zufallsvariable ist eine Funktion auf einer Ergebnismenge. Und ${\displaystyle P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])}$ ist eine vereinfachende Schreibweise von ${\displaystyle P(\{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\})}$, da doppelte Klammern redundant sind. Also, wenn ich P nicht verwenden dürfte, würde ich schreiben:

• Kopf zweite Spalte: Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle \{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}}$
• Kopf dritte Spalte: Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle \{X\notin [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}}$ --Sigma^2 (Diskussion) 01:02, 19. Okt. 2023 (CEST)

  Ich habe deinen Vorschlag mit dem P() eingefügt, die geschweifte Klammer mag ich noch weniger. Übrigens ist mir die numerische Mathematik und Physik näher als Statistik, deshalb kann es schon vorkommen, dass ich fachsprachlich nicht treffend formuliere. --M.J. (Diskussion) 22:38, 19. Okt. 2023 (CEST)

  Danke für Deine geduldigen Überarbeitungen. Der Artikel wird immer besser. --Sigma^2 (Diskussion) 08:50, 20. Okt. 2023 (CEST)

  "Umgekehrt ist die Grenze des Intervalls, in dem der Anteil an Werten ${\displaystyle p\in (0,1)}$ liegt, durch

  ${\displaystyle z={\sqrt {2}}\cdot \operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)}$

  bestimmt." Wo beginnt das Intervall, wo endet es? Es könnte bei -unendlich beginnen oder zentriert um den Erwartungswert sein... Bitte im Text präzisieren :) biggerj1 (Diskussion) 11:09, 20. Okt. 2023 (CEST)

  Heute gemacht. --Sigma^2 (Diskussion) 20:53, 20. Okt. 2023 (CEST)

  Danke schön! biggerj1 (Diskussion) 06:30, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Mir kommt es jetzt so vor, als wenn da zweimal etwas sehr ähnliches steht, einmal im Text, einmal in der Anmerkung 13:

  • Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ kann alternativ durch die Verteilungsfunktion ${\displaystyle \Phi }$ der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ausgedrückt werden. Dazu betrachtet man ein Intervall, welches symmetrisch um den Median aufgebaut ist:
    ${\displaystyle \int _{-z}^{+z}\varphi (t)\mathrm {d} t=p}$ bzw. wegen Symmetrie ${\displaystyle 2\int _{0}^{z}\varphi (t)\mathrm {d} t=p}$
    daher gilt ${\displaystyle 2(\Phi (z)-\underbrace {\Phi (0)} _{0.5})=p}$ bzw. äquivalent:
  • Es gilt
    ${\displaystyle P(Z\in [-z,z])=P(-z\leq Z\leq z)=\Phi (z)-\Phi (-z)=\Phi (z)-(1-\Phi (z))=2\Phi (z)-1\,.}$

  Mir gefällt die zweite Rechnung besser, weil man nicht "wissen" muss, dass ${\displaystyle \Phi (0)=0.5}$ ist und das Integral weiter oben bei ${\displaystyle -\infty }$ anfängt. Dass die Verteilungsfunktion und die Fehlerfunktion zusammenhängen, steht schon im Abschnitt "Verteilungsfunktion", ich hätte es daher hier nicht nochmal erwähnt, nur beide Formeln hingeschrieben.

  Jetzt ist es noch unglücklich, dass die Standartnormalverteilung Z und das Intervall mit z bezeichnet wird. Ich wäre für einen anderen Buchstaben an einer der Stellen. --M.J. (Diskussion) 19:17, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Ich fand die letzte Ergänzung von Benutzer:biggerj1 auch seltsam, nachdem es schon eine vollständige Herleitung in der Anmerkung gab, die aber biggerj1 vielleicht übersehen hat. ${\displaystyle Z}$ ist das übliche Symbol für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, ${\displaystyle k}$ wird häufig bei der Vervielfachung von ${\displaystyle \sigma }$ verwendet. Ich finde an dieser Stelle ${\displaystyle z}$ eigentlich nicht störend, weil es doch als eine mögliche Realisierung von ${\displaystyle Z}$ mitgedacht wird und Realisierungen von ${\displaystyle Z}$ häufig mit ${\displaystyle z}$ bezeichnet werden. Oder stört etwas anderes? --Sigma^2 (Diskussion) 22:47, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Ohh entschuldige! Die Fußnote ist mir tatsächlich entgangen. Habe meine Änderungen rausgenommen. biggerj1 (Diskussion) 01:52, 22. Okt. 2023 (CEST)

  Ja, stimmt, dass Z und z so richtig zusammen passen hatte ich nicht bemerkt, ich hatte das z nur als übernommen von ${\displaystyle X\in [\mu -\sigma ,\mu -\sigma ]}$ verstanden. --M.J. (Diskussion) 20:57, 22. Okt. 2023 (CEST)

Das klingt für mich sehr seltsam. So als hätte ich es noch nie gelesen. Gibt es dafür einen Beleg?--Sigma^2 (Diskussion) 17:25, 28. Okt. 2023 (CEST)

Das steht so im Taschenbuch der Mathematik, mindestens in der 2. und 5. Auflage (1995, 2000). --M.J. (Diskussion) 17:31, 28. Okt. 2023 (CEST)

Dann bitte ein Beleg an die erste Verwendung, möglichst mit Seitenzahl. In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es das wohl eher selten. Da aber der Bronstein eine Bibel für Ingenieure und Physiker ist, sollte es jedenfalls - mit Beleg - drinbleiben. --Sigma^2 (Diskussion) 17:43, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ok.

Wo es gerade zu Definition geht, ist die Schreibweise ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ üblich, warum nicht ${\displaystyle x,\sigma \in \mathbb {R} }$? Im Bronstein steht keine Bedingung zu ${\displaystyle x,\sigma }$ auf den angrenzenden Seiten. --M.J. (Diskussion) 18:19, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe es überarbeitet. Bei Funktionen den Definitionsbereich anzugeben, ist jedenfalls besser, als keine Angabe zu machen. Bei ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ sind die Bedingungen ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}<\infty }$ wichtig.--Sigma^2 (Diskussion) 19:17, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ich verstehe, dass ${\displaystyle \sigma \neq 0}$. Wo ich gelernt habe, war ${\displaystyle \infty \notin \mathbb {R} }$. Im Artikel folgt: ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}}$, womit dann ${\displaystyle \sigma >0}$ implizit festgelegt ist (also ohne Quadrat). --M.J. (Diskussion) 19:34, 28. Okt. 2023 (CEST)

1) ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ bedeutet ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, denn ${\displaystyle -\infty <\dots <\infty =(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{-\infty ,\infty \}=\mathbb {R} }$

2) Der Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ existiert durchaus über die alternative Definition. Er spielt zwar keine Rolle für die Grundlagen und die meisten Leser, aber er spielt eine Rolle in der Theorie der stochastischen Differentialgleichungen.--Tensorproduct 16:51, 31. Okt. 2023 (CET)

Ich habe jetzt mehr ${\displaystyle \sigma }$ statt ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ in die Definition gebracht, weil mir nicht ersichtlich ist, warum es ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ sein soll. Ich hoffe, du, Sigma^2 nimmst es mir zumindest nicht aus Eitelkeit übel. Wenn es Gründe für das Quadrat gibt, kann es auch wieder revertiert werden, bzw. eine einheitliche Schreibweise wäre schon schön, so dass im Exponenten auch ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ steht und nicht ${\displaystyle (x/\sigma )^{2}}$ oder so.

Das hatte ich überhaupt nicht verstanden, dass es Dir um ${\displaystyle \sigma }$ anstelle von ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ geht. Natürlich ist die Standardabweichung als Wurzel der Varianz definiert und es fällt nicht eine Standardabweichung vom Himmel, deren Quadrat dann die Varianz ist. Andererseits ist ${\displaystyle \sigma }$ Skalenparameter, so dass es aus statistischer Sicht auch Argumente dafür gibt, ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ als Parameter der Normalverteilung aufzufassen. Dies findet sich in der österreichischen Schule der Statistik und z. B. in Mit Franz Baur, Michael Krapp: Statistik: Eine Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. 19. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / Boston 2022, ISBN 978-3-11-075919-8, doi:10.1515/9783110759327 (E-Book-ISBN 978-3-11-075940-2)..

Für die Zufallsvaraiable X verlange ich jetzt nicht mehr, dass sie stetig ist, so verstehe ich die Verlinkung von "stetige Zufallsvariable" und so steht es im Bronstein. Dass X stetig ist, ergibt sich aus der Verteilungsfunktion. Ev. könnte es irgendwo erwähnt werden, falls es erwähnenswert ist. --M.J. (Diskussion) 22:10, 31. Okt. 2023 (CET)

Der singuläre Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ wird auch in der multivariaten Statistik häufig mitberücksichtigt. Im Artikel Mehrdimensionale Normalverteilung ist es besser gemacht. Beispielsweise gibt es eine einfache Charakterisierung, die auch zur Definition verwendet wird, eines multivariat normalverteilten Zufallsvektor ${\displaystyle \mathbf {X} }$ durch univariate Normalverteiltheit aller Linearkombinationen ${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\mathbf {X} }$ mit ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$. Im Fall einer nichtinvertierbaren Kovarianzmatrix (singulärer Fall) ergeben sich für bestimmte Vektoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ Einpunktverteilungen (mit ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$), die dann zu den univariaten Normalverteilungen gezählt werden.--Sigma^2 (Diskussion) 00:00, 1. Nov. 2023 (CET)

Wer war denn 1845 verblüfft? Laplace war schon lange tot. Gauß zwar noch nicht, aber siehe Carl Friedrich Gauß#Beiträge zur Astronomie. --Rainald62 (Diskussion) 16:31, 11. Mär. 2024 (CET)

Vermutlich soll Monsieur Quetelet selbst verblüfft gewesen sein. In der angegebenen Quelle schreibt er auf S. 259 von der concordance remarquable qui existe entre les nombres observés et les nombres calculés. Allerdings meint remarquable eher ein nüchterneres "bemerkenswert", und "verblüfft" scheint übertrieben, jedenfalls wenn diese Stelle tatsächlich gemeint ist. --Wrongfilter ... 19:54, 11. Mär. 2024 (CET)

Da hat er aber lange für gebraucht, denn das Buch ist von 1844. ;-) --≡c.w. @… 17:05, 13. Mär. 2024 (CET)

Interessant. Die [angegebene Quelle] ist ein Abdruck desselben im Bulletin de la Commission Centrale de Statistique, datiert auf 1845. But what's another year? Die Daten zu den Brustumfängen stammen übrigens aus dem Jahr 1817. --Wrongfilter ... 18:06, 13. Mär. 2024 (CET)

Die "Übereinstimmung" sollte aber in Anführungszeichen als Zitat genannt werden. --M.J. (Diskussion) 20:57, 13. Mär. 2024 (CET)

Hi, ich wollte nur festhalten, dass auf der mobilen Version der Wikipediaseite in Abschnitt Definition im ersten Satz nach "wobei" eine MathML-Fehlermeldung angezeigt wird:

"Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mu,\sigma \in \R ,\; \sigma > 0"

In der Desktop-Version der Wikipediaseite tritt es nicht auf. Ich benutze Firefox Version 129.0.2 (64-Bit). --Paul13337 (Diskussion) 18:07, 3. Sep. 2024 (CEST)

--Paul13337 (Diskussion) 18:09, 3. Sep. 2024 (CEST)

Die Tabelle: "Ordnung | Momente (...)"

wird in Android auf 9,5"-Display im Hochformat rechts etwa auf halbe Breite beschnitten dargestellt. Ein Verschiebalken wird im unteren Rand der Tabelle angezeigt, ist aber nicht anfassbar. Auch Verkleinern, das extralange Matheformeln ganz ins Bild holt, zeigt nicht mehr von der Tabelle.

Anzeige auf Querformat zeigt die ganze Breite der Tabelle, funzt also als Work around. Helium4 (Diskussion) 17:38, 3. Mär. 2025 (CET)