Extremwertverteilung

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Eine stetige Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ genügt einer verallgemeinerten Extremwertverteilung mit den Parametern ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma >0}$ und ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\,t(x)^{\xi +1}e^{-t(x)}&{\text{falls }}1+\xi ({\tfrac {x-\mu }{\sigma }})>0\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

mit

${\displaystyle t(x)={\begin{cases}{\big (}1+\xi ({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}){\big )}^{-1/\xi }&{\textrm {falls}}\ \xi \neq 0\\e^{-(x-\mu )/\sigma }&{\textrm {falls}}\ \xi =0\end{cases}}}$

besitzt. Für ${\displaystyle \xi =0}$ liegt eine Gumbel-Verteilung, für ${\displaystyle \xi >0}$ eine Fréchet-Verteilung und für ${\displaystyle \xi <0}$ eine Weibull-Verteilung vor.